[论文解读] A New Approximation Guarantee for Monotone Submodular Function Maximization via Discrete Convexity

Tasuku Soma, Yuichi Yoshida|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过利用 M♮-凹函数，为基数约束下的单调子模函数最大化提出了一种新颖的近似保证。它定义了 h-曲率以衡量与 M♮-凹基函数 h 的偏离程度，并提出了一种多项式时间算法，对任意 ǫ > 0 实现 (1 − γh/e − ǫ) 近似，当 h-曲率较小时，该结果显著优于经典的 1 − 1/e 边界。

ABSTRACT

In monotone submodular function maximization, approximation guarantees based on the curvature of the objective function have been extensively studied in the literature. However, the notion of curvature is often pessimistic, and we rarely obtain improved approximation guarantees, even for very simple objective functions. In this paper, we provide a novel approximation guarantee by extracting an M^{natural}-concave function h:2^E -> R_+, a notion in discrete convex analysis, from the objective function f:2^E -> R_+. We introduce a novel notion called the M^{natural}-concave curvature of a given set function f, which measures how much f deviates from an M^{natural}-concave function, and show that we can obtain a (1-gamma/e-epsilon)-approximation to the problem of maximizing f under a cardinality constraint in polynomial time, where gamma is the value of the M^{natural}-concave curvature and epsilon > 0 is an arbitrary constant. Then, we show that we can obtain nontrivial approximation guarantees for various problems by applying the proposed algorithm.

研究动机与目标

• 为解决单调子模函数最大化中理论近似界与实际性能之间的差距。
• 通过超越标准曲率概念，开发一种更精细的近似保证，以更好地反映实际性能。
• 利用 M♮-凹函数识别更广泛的“易处理”子模函数类别，并利用其结构实现更优的近似。
• 为设施选址和加权拟阵秩函数等多样化问题提供通用的算法框架。

提出的方法

• 将单调子模函数 f 分解为 f = g + h，其中 g 为单调子模，h 为 M♮-凹。
• 将 h-曲率 γh 定义为满足对所有 X ⊆ E 有 h(X) ≥ (1 − γ)f(X) 的最小 γ，或等价地，γh = max_X g(X)/f(X)。
• 利用 g 和 h 的值 oracle 实现一种多项式时间随机算法，对任意 ǫ > 0 满足 E[f(X)] ≥ (1 − γh/e − ǫ)f(O)。
• 通过构建适当的 h 和 g 分解，将该算法应用于设施选址和加权拟阵秩函数等实际问题。
• 利用 M♮-凹函数可通过贪心方法高效最大化这一事实，实现对 h 部分的高效优化。
• 建立理论边界，表明 h-曲率 γh 始终 ≤ 标准曲率 c，且在实际情形中可显著更小。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种比标准曲率更精细的曲率度量，可在单调子模函数最大化中实现更优的近似保证？
• RQ2 M♮-凹函数能否作为结构基底，用于更有效地分解和近似一般单调子模函数？
• RQ3 所提出的 h-曲率框架是否在设施选址和覆盖函数等实际问题中，相对于现有保证产生非平凡的改进？
• RQ4 在贪心算法表现优于 1 − 1/e 的真实实例中，h-曲率与标准曲率相比如何？
• RQ5 该框架能否推广至本文研究范围之外的其他子模函数类别？

主要发现

• 所提出的算法对任意 ǫ > 0 在多项式时间内实现 (1 − γh/e − ǫ) 近似，其中 γh 为分解 f = g + h 的 h-曲率。
• 在设施选址问题中，h-曲率 γh 满足 γh ≤ c − (∑ᵢ wᵢ,min)/(∑ᵢ wᵢ,max)，表明其保证严格优于标准曲率 c。
• 对于加权拟阵秩函数之和，h-曲率满足 γh ≤ c − (∑ᵢ wᵢ,min)/Wᵢ，其中 Wᵢ 为拟阵 i 中基的最大权重。
• h-曲率 γh 始终小于或等于标准曲率 c，且在实际情形中可小得多，从而解释了理论与实践之间的差距。
• 该框架适用于非模函数，如（加权）拟阵秩函数和层状凹函数，这些函数虽远离模函数，但仍可实现高效近似。
• 该方法优于 Sviridenko、Vondrák 和 Ward 的先前结果，提供了更紧致的近似保证，其依赖于结构分解而非仅函数的曲率。