[论文解读] A New Bound for the Brown--Erd\H{o}s--S\'os Problem.

David Conlon, Lior Gishboliner+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文在极值组合学的Brown–Erd\'os–S\'os问题上建立了新的渐近界，表明对于3-均匀超图，避免在至多 $e + \lceil 26\log e / \log\log e\rceil$ 个顶点上出现 $e$ 条边的边数为 $o(n^2)$。该结果通过将S\'ark\H{o}zy–Selkow界中的 $\lfloor\log_2 e\rfloor$ 误差项替换为次对数项，实现了对长期存在的界限的改进，其方法基于对超图去除引理的精细化应用。

ABSTRACT

Let $f(n,v,e)$ denote the maximum number of edges in a $3$-uniform hypergraph not containing $e$ edges spanned by at most $v$ vertices. One of the most influential open problems in extremal combinatorics then asks, for a given number of edges $e \\geq 3$, what is the smallest integer $d=d(e)$ so that $f(n,e+d,e) = o(n^2)$? This question has its origins in work of Brown, Erd\\H{o}s and S\\'os from the early 70's and the standard conjecture is that $d(e)=3$ for every $e \\geq 3$. The state of the art result regarding this problem was obtained in 2004 by S\\'{a}rk\\"{o}zy and Selkow, who showed that $f(n,e + 2 + \\lfloor \\log_2 e \ floor,e) = o(n^2)$. The only improvement over this result was a recent breakthrough of Solymosi and Solymosi, who improved the bound for $d(10)$ from 5 to 4. We obtain the first asymptotic improvement over the S\\'{a}rk\\"{o}zy--Selkow bound, showing that $$ f(n, e + O(\\log e/ \\log\\log e), e) = o(n^2). $$

研究动机与目标

• 通过确定最小的 $d(e)$ 使得 $f_3(n,e+d,e) = o(n^2)$ 来解决Brown–Erd\'os–S\'os猜想。
• 克服先前改进所受的自然障碍，特别是S\'ark\H{o}zy–Selkow界中的 $\lfloor\log_2 e\rfloor$ 项。
• 为 $f_3(n,e+d,e)$ 问题提供自2004年S\'ark\H{o}zy–Selkow结果以来的首个一般性渐近改进。
• 将改进后的界限推广至相关问题，例如涉及边着色和彩虹子图的广义Ramsey型问题。

提出的方法

• 应用任意 $r$ 的 $r$-均匀超图去除引理，以绕过先前方法中的关键限制。
• 利用阶乘的渐近估计，将误差项中的常数从26改进为 $6+o(1)$。
• 通过一种新颖的约化论证，将广义Brown–Erd\'os–S\'os猜想约化为 $r=3$，$k=2$ 的情形。
• 从完全图的边着色构造4-均匀超图，以建立与 $f_4(n,p,e)$ 函数的联系。
• 通过基于着色的约化，建立广义Ramsey问题与Brown–Erd\'os–S\'os问题之间的联系。
• 证明 $f_4(n,p,e) = o(n^2)$ 蕴含 $g(n,p,q) = \binom{n}{2} - o(n^2)$，从而实现界限的转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小的 $d(e)$ 是多少，使得 $f_3(n,e+d,e) = o(n^2)$，并且如何实现其渐近改进？
• RQ2 S\'ark\H{o}zy–Selkow界中的 $\lfloor\log_2 e\rfloor$ 误差项能否被减小为次对数函数？
• RQ3 当普遍应用于超图去除引理时，是否能在Brown–Erd\'os–S\'os问题上实现突破？
• RQ4 在 $f_3(n,e+d,e)$ 问题上的改进在多大程度上可以转移到相关Ramsey型问题？
• RQ5 广义Brown–Erd\'os–S\'os猜想是否等价于原始的 $r=3$，$k=2$ 情形，且近似结果是否可类似转移？

主要发现

• 该论文建立了 $f_3(n,e + \lceil 26\log e / \log\log e\rceil, e) = o(n^2)$，这是对S\'ark\H{o}zy–Selkow界的首个一般性改进。
• 通过改进渐近估计，将乘法常数26优化为 $6 + o(1)$，从而得到 $f_3(n,e + (6+o(1))\log e / \log\log e, e) = o(n^2)$。
• 该结果意味着当 $q \geq q_{\text{quad}}(p) + C\log p / \log\log p$ 时，$g(n,p,q) = \binom{n}{2} - o(n^2)$，其中 $C$ 为某绝对常数，优于S\'ark\H{o}zy和Selkow的界限。
• 证明表明广义Brown–Erd\'os–S\'os猜想等价于原始的 $r=3$，$k=2$ 情形，且近似界限可在两种形式间转移。
• 该论文形式化了从广义Ramsey问题到Brown–Erd\'os–S\'os问题的约化，表明 $f_4(n,p,e) = o(n^2)$ 蕴含 $g(n,p,q) = \binom{n}{2} - o(n^2)$。
• 通过使用任意 $r$ 的 $r$-图去除引理，该论文克服了先前方法中的自然障碍，实现了次对数误差项。