[论文解读] A new description of equivariant cohomology for totally disconnected groups

Christian Voigt|ArXiv.org|Dec 7, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过证明鲍姆与施耐德意义上的双不变等变上同调自然同构于光滑作用在有限维、局部有限的 $G$-单纯复形上的等变周期循环同调，建立了对完全不连通群的等变上同调的新描述。关键贡献是一个自然同构 $ HP^{G}_{*}(C^{\tiny{\mathrm{\infty}}}_{c}(X),C^{\tiny{\mathrm{\infty}}}_{c}(Y)) \cong \bigoplus_{j\in\mathbb{Z}}H^{*+2j}_{G}(X,Y) $，统一了通过循环同调的方法，并在鲍姆-康nes猜想的背景下阐明了这些上同调理论的结构。

ABSTRACT

We consider smooth actions of totally disconnected groups on simplicial complexes and compare different equivariant cohomology groups associated to such actions. Our main result is that the bivariant equivariant cohomology theory introduced by Baum and Schneider can be described using equivariant periodic cyclic homology. This provides a new approach to the construction of Baum and Schneider as well as a computation of equivariant periodic cyclic homology for a natural class of examples. In addition we discuss the relation between cosheaf homology and equivariant Bredon homology. Since the theory of Baum and Schneider generalizes cosheaf homology we finally see that all these approaches to equivariant cohomology for totally disconnected groups are closely related.

研究动机与目标

• 统一完全不连通群的等变上同调的多种不同方法。
• 建立双不变等变上同调（鲍姆-施耐德）与等变周期循环同调之间的精确关系。
• 证明在 $G$-单纯复形上，等变布雷东同调与余层同调自然同构。
• 为几何设定中的等变周期循环同调提供计算框架。

提出的方法

• 在单纯复形上使用具有紧支集的光滑 $G$-等变函数，记为 $C^{\tiny{\mathrm{\infty}}}_{c}(X)$，作为循环同调框架中的代数。
• 应用等变版本的霍赫希尔德-科斯坦特-罗森伯格定理，将微分形式与循环同调联系起来。
• 构造一个从余层同调到布雷东同调的自然链映射 $\phi$，并证明其为同构。
• 将 $G$-单纯复形定义为具有完全不连通群 $G$ 的光滑、正规作用的正规单纯复形。
• 通过稳定子子群 $G_\sigma$ 的表示环 $\mathcal{R}(G_\sigma)$ 之间的归纳映射 $\iota^\eta_\sigma$ 定义余层结构。
• 通过显式逆映射 $\psi$ 证明同构 $\phi: S^G_*(X;\mathcal{R}_X) \to C^*_{\text{Or}(G,\mathcal{F})}(X;\mathcal{R})$，确认链水平的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 双不变等变上同调（鲍姆-施耐德）与完全不连通群的等变周期循环同调之间有何关系？
• RQ2 鲍姆与施耐德的理论能否通过循环同调重新解释，适用于单纯复形上的光滑作用？
• RQ3 在 $G$-单纯复形的背景下，等变布雷东同调是否同构于余层同调？
• RQ4 在此设定下，周期循环同调与鲍姆-康尼斯猜想之间的确切关系是什么？

主要发现

• 在有限维、局部有限的 $G$-单纯复形上，且 $X$ 为正规的情形下，建立了等变周期循环同调与双不变等变上同调之间的自然同构：$ HP^{G}_{*}(C^{\tiny{\mathrm{\infty}}}_{c}(X),C^{\tiny{\mathrm{\infty}}}_{c}(Y)) \cong \bigoplus_{j\in\mathbb{Z}}H^{*+2j}_{G}(X,Y) $。
• 通过构造互为逆的链映射 $\phi$ 与 $\psi$，证明了余层同调与等变布雷东同调在 $G$-单纯复形范畴上自然同构。
• $\phi$ 是一个保持 $G$-作用与余不变量的链映射，其逆映射 $\psi$ 能够重构原始链复形。
• 通过主同构的一个变体，离散群作用在流形上的鲍姆-康尼斯理论被恢复为特例。
• 通过将 $G$ 分解为椭圆与双曲元素，分析了循环同调中协变模的结构。
• 本工作通过单纯复形的几何数据，为等变周期循环同调提供了新的计算框架。