[论文解读] A new efficient Hamiltonian approach to the nonlinear water-wave problem over arbitrary bathymetry

Christos Papoutsellis, G. A. Athanassoulis|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2017

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 69被引用 11

一句话总结

本文通过在流体域中对速度势进行垂直级数展开，从卢克的变分原理推导出精确的欧拉-拉格朗日方程，提出了一种针对任意海床地形的完全非线性水波的新型哈密顿形式。该方法通过适用于光滑、非周期性区域的闭式表示，高效计算了狄利克雷-诺伊曼算子，实现了对强非线性和色散波-底相互作用的精确模拟，并通过实验数据进行了验证。

ABSTRACT

A new Hamiltonian formulation for the fully nonlinear water-wave problem over variable bathymetry is derived, using an exact, vertical series expansion of the velocity potential, in conjunction with Luke's variational principle. The obtained Euler-Lagrange equations contain infinite series and can rederive various existing model equations upon truncation. In this paper, the infinite series are summed up, resulting in two exact Hamiltonian equations for the free-surface elevation and the free-surface potential, coupled with a time-independent horizontal system of equations. The Dirichlet to Neumann operator is given by a simple and versatile representation, which is valid for any smooth fluid domain, not necessarily periodic in the horizontal direction(s), without limitations on the steepness and deformation of the seabed and the free surface. An efficient numerical scheme is presented and applied to the case of one horizontal dimension, establishing the ability of the new formulation to simulate strongly nonlinear and dispersive wave-bottom interactions by comparison with experimental measurements.

研究动机与目标

• 开发一种适用于变地形水波的完全非线性、哈密顿形式，避免对海底或自由表面几何形状施加限制性假设。
• 通过求和垂直速度势展开产生的无穷级数，推导出自由表面高程和势能的精确方程。
• 构建一种通用且高效的数值格式，适用于具有任意海底地形和波陡度的非周期性区域。
• 通过强非线性和色散波-底相互作用的实验数据验证该模型。
• 提供一个通用框架，通过截断可恢复现有模型方程，确保与现有理论的一致性。

提出的方法

• 该形式化基于卢克的变分原理，利用流体域中速度势的精确垂直级数展开推导得出。
• 所得的欧拉-拉格朗日方程包含无穷级数，通过解析求和得到哈密顿系统的闭式表达式。
• 狄利克雷-诺伊曼算子以一种简单且精确的形式表示，适用于任何光滑流体域，无论是否具有周期性或底部变形。
• 该方法将自由表面动力学与一组与时间无关的水平方程耦合，实现高效的数值实现。
• 开发并应用了一种数值格式，在一维水平方向上模拟了任意海床地形上的波传播。
• 通过将模拟波形与强非线性情况下的实验测量结果对比，对方法进行了验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不施加周期性或波陡度限制的条件下，为任意海床地形上的完全非线性水波构建哈密顿形式？
• RQ2 如何对垂直速度势展开产生的无穷级数进行求和，以获得自由表面动力学的精确方程？
• RQ3 在具有任意海底和自由表面形状的一般光滑区域内，狄利克雷-诺伊曼算子的形式是什么？
• RQ4 与实验数据相比，该方法能否准确模拟强非线性和色散波-底相互作用？
• RQ5 该新形式与现有模型方程之间有何关系？在截断时是否能恢复这些方程？

主要发现

• 推导方程中的无穷级数被解析求和，得到了自由表面高程和势能的精确哈密顿方程。
• 狄利克雷-诺伊曼算子以一种简单且闭式的形式表达，适用于任何光滑流体域，包括非周期性和高度变形的几何形状。
• 该方法可在一维水平方向上精确模拟强非线性和色散波-底相互作用。
• 数值结果与复杂波-底相互作用的实验测量结果高度一致，证实了模型的鲁棒性。
• 该形式具有通用性，通过截断可恢复多种现有模型方程，表明其与先前工作的高度一致性。
• 该方法计算高效，适用于具有任意海底和自由表面变形的区域，且对波陡度无限制。