[论文解读] A new family of efficient rectangular conforming mixed finite elements for linear elasticity in the symmetric formulation

Jun Hu|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文提出了一类用于线性弹性力学对称应力弱形式的新型混合有限元，采用 enriched BDFM 和 serendipity 单元表示应力，使用 enriched 不连续 $P_{k-1}$ 或 $Q_{k-1}$ 单元表示位移。该方法实现了最优收敛率和适定性，最低阶单元在二维中具有 10+4 个自由度，在三维中具有 21+6 个自由度。

ABSTRACT

A new family of mixed finite elements is proposed for solving the classical Hellinger-Reissner mixed problem of the elasticity equations. For two dimensions, the normal stress of the matrix-valued stress field is approximated by an enriched Brezzi-Douglas-Fortin-Marini element of order $k$, and the shear stress by the serendipity element of order $k$, the displacement field by an enriched discontinuous vector-valued $P_{k-1}$ element. The degrees of freedom on each element of the lowest order element, which is of first order, is $10$ plus $4$. For three dimensions, the normal stress is approximated by an enriched Raviart-Thomas element of order $k$, and each component of the shear stress by a product space of the serendipity element space of two variables and the space of polynomials of degree $\leq k-1$ with respect to the rest variable, the displacement field by an enriched discontinuous vector-valued $Q_{k-1}$ element. The degrees of freedom on each element of the lowest order element, which is of first order, is $21$ plus $6$. A family of reduced elements is also proposed by dropping some interior bubble functions of the stress and employing the discontinuous vector-valued $P_{k-1}$ (resp. $Q_{k-1}$) element for the displacement field on each element. As a result the lowest order elements have $8$ plus $2$ and $18$ plus $3$ degrees of freedom on each element for two and three dimensions, respectively. The well-posedness condition and the optimal a priori error estimate are proved for this family of finite elements. Numerical tests are presented to confirm the theoretical results.

研究动机与目标

• 为对称应力形式下的线性弹性力学开发一种稳定且高效的混合有限元方法。
• 通过增强标准有限元空间，解决混合格式中的锁紧和稳定性问题。
• 确保该方法的符合型和降阶型均具有最优收敛率和适定性。
• 系统性地构造低阶情形下自由度最少的混合单元。

提出的方法

• 在二维中使用 $k$ 阶 enriched Brezzi-Douglas-Fortin-Marini (BDFM) 单元表示法向应力，使用 $k$ 阶 serendipity 单元表示剪切应力。
• 在二维中采用 enriched 不连续向量值 $P_{k-1}$ 单元表示位移场。
• 在三维中，使用 $k$ 阶 enriched Raviart-Thomas 单元近似法向应力，每个剪切应力分量则通过 serendipity 空间与次数 $\leq k-1$ 的一元多项式之积表示。
• 在三维中采用 enriched 不连续向量值 $Q_{k-1}$ 单元表示位移。
• 通过从应力空间中移除内部泡函数，并对位移使用不连续 $P_{k-1}$ 或 $Q_{k-1}$ 单元，提出降阶单元。
• 通过严格分析建立适定性，并推导出最优先验误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于最少自由度构造出适用于对称应力形式线性弹性力学的稳定混合有限元方法？
• RQ2 如何通过增强技术改善应力和位移场的逼近效果，同时保持最优收敛性？
• RQ3 二维和三维中稳定低阶混合单元所需的最少自由度数是多少？
• RQ4 该方法的降阶变体是否保持最优收敛性和适定性？
• RQ5 所提方法能否对符合型和降阶型均实现最优误差估计？

主要发现

• 最低阶符合型单元在二维中每个单元具有 10 + 4 个自由度，在三维中具有 21 + 6 个自由度，确保了最小复杂度与最优性能。
• 降阶单元在二维中每个单元仅需 8 + 2 个自由度，在三维中仅需 18 + 3 个自由度，即可实现适定性和最优收敛性。
• 已证明符合型和降阶型单元族均具有最优先验误差估计，证实了最优收敛率。
• 通过仔细增强应力空间并恰当选择位移逼近方式，确保了方法的稳定性。
• 数值实验验证了理论预测，表明在实际中实现了最优收敛性。
• 所提方法有效避免了锁紧现象，并在不同多项式阶次下保持了最优收敛性。