[论文解读] A new fractional derivative of variable order with non-singular kernel and fractional differential equations

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了两种基于 $ψ$-Caputo 和 $ψ$-Riemann-Liouville 公式的变分数阶导数，其核函数非奇异，从而构建了一类广义的分数阶算子，可将经典情形视为极限情况。主要贡献在于建立了比较原理与收敛性结果，确保了具有变阶次、非奇异核的非线性分数阶微分方程解的有界性与唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we introduce two new non-singular kernel fractional derivatives and present a class of other fractional derivatives derived from the new formulations. We present some important results of uniformly convergent sequences of continuous functions, in particular the Comparison's principle, and others that allow, the study of the limitation of fractional nonlinear differential equations.

研究动机与目标

• 提出一类新的具有非奇异核的分数阶导数，通过变阶次 $α(t)$ 和参考函数 $ψ(t)$ 推广现有公式。
• 建立理论基础，特别是收敛性与比较原理，以分析具有变阶次导数的非线性分数阶微分方程。
• 证明新导数在极限情况下可恢复经典分数阶算子，例如当 $α(t) \to 1$ 或 $α(t) \to 0$ 时。
• 提供充分条件，以保证涉及新算子的非线性分数阶微分方程解的有界性与唯一性。

提出的方法

• 提出两种新的变阶次分数阶导数：基于非奇异核的 $ψ$-Riemann-Liouville 与 $ψ$-Caputo 导数，利用Mittag-Leffler函数构造。
• 定义关于函数 $ψ(t)$ 的变阶次Riemann-Liouville分数阶积分，确保在紧区间上一致收敛。
• 利用Mittag-Leffler函数 $\mathbb{E}_{\beta}(z)$ 在 $\beta \to 1$ 时的性质，实现指数衰减，从而保证核函数非奇异。
• 通过分析分数阶导数的符号并取极限 $\alpha(t) \to 1$ 或 $\alpha(t) \to 0$，建立分数阶微分方程的比较原理。
• 应用中值定理及一致收敛连续函数列的性质，分析解的行为与唯一性。
• 通过将非线性项 $f(t,u)$ 用线性函数 $\lambda_1 u + h_1(t)$ 与 $\lambda_2 u + h_2(t)$（其中 $\lambda_1, \lambda_2 < 0$）进行有界估计，推导解的估计式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于变阶次 $α(t)$ 和参考函数 $\psi(t)$ 构造一类新的具有非奇异核的分数阶导数？
• RQ2 新分数阶导数在 $\alpha(t) \to 1$ 与 $\alpha(t) \to 0$ 的极限下行为如何？是否能恢复经典分数阶算子？
• RQ3 哪些条件可确保涉及新导数的非线性分数阶微分方程解的有界性与唯一性？
• RQ4 能否为具有变阶次与非奇异核的分数阶微分方程建立比较原理？
• RQ5 如何通过非线性项的线性有界估计来估计非线性分数阶微分方程的解？

主要发现

• 新分数阶导数通过变阶次 $\alpha(t)$ 与单调正函数 $\psi(t)$ 定义，采用Mittag-Leffler核，确保核函数非奇异且一致收敛。
• 当 $\alpha(t) \to 1$ 时，恢复经典Caputo导数；当 $\alpha(t) \to 0$ 时，导出恒等算子，验证了与已知情形的一致性。
• 建立了比较原理：若 $^{C}\mathfrak{D}_{a+}^{\alpha(t);\psi}z(t) - \lambda z(t) \leq 0$ 且 $\lambda < 0$，则 $z(t) \leq 0$，从而实现对解的控制。
• 对于非线性方程 $^{C}\mathfrak{D}_{a+}^{\alpha(t);\psi}u(t) = f(t,u)$，若 $f(t,u)$ 关于 $u$ 非增，则解在 $H^1(a,b)$ 中唯一。
• 若 $f(t,u)$ 被 $\lambda_1 u + h_1(t)$ 与 $\lambda_2 u + h_2(t)$ 控制，且 $\lambda_1, \lambda_2 < 0$，则解 $u(t)$ 满足 $v_2(t) \leq u(t) \leq v_1(t)$，其中 $v_1, v_2$ 分别为相应线性方程的解。
• 结果通过比较与收敛性技术，保证了具有变阶次、非奇异核的非线性分数阶微分方程解的存在性、唯一性与有界性。