[论文解读] A new gap phenomenon for proper holomorphic mappings from B^n into B^N

Jimmy Xiangji Huang, Shanyu Ji+1 more|ArXiv.org|May 2, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文为具有退化秩的复球面之间正规全纯映射建立了伪标准形，实现了对几何秩为一的映射的完整刻画。关键结果表明，任意从 $\mathbf{B}^n$ 到 $\mathbf{B}^N$ 的有理正规全纯映射，当 $4 \leq n \leq N \leq 3n-4$ 时，均等价于 D’Angelo 映射，揭示了此类映射分类中的一种新型间隙现象。

ABSTRACT

In this paper (Math. Res. Lett. 13 (2006). No 4, 509-523), the authors established a pseudo-normal form for proper holomoprhic mappings between balls in complex spaces with degenerate rank. This then was used to give a complete characterization for all proper holomorphic maps with geometric rank one, which, in particular, includes the following as an immediate application: Theorem: Any rational holomorphic map from B^n into B^N with $4\le n\le N\le 3n-4$ is equivalent to the D'Angelo map $$F_θ(z',w)=(z',(\cosθ)w,(\sinθ)z_1w, ..., (\sinθ)z_{n-1}w, (\sinθ)w^2, 0'), 0\le θ\leq π/2.$$ It is a well-known (but also quite trivial) fact that any non-constant rational CR map from a piece of the sphere $\partial {B^n}$ into the sphere $\partial {B^N}$ can be extended as a proper rational holomoprhic map from $B^n$ into $B^N$ ($N\ge n\ge 2$). By using the rationality theorem that the authors established in [HJX05], one sees that the the above theorem (and also the main theorem of the paper) holds in the same way for any non-constant $C^3$-smooth CR map from a piece of $\partial {B^n}$ into $\partial{B^N}$. The paper [Math. Res. Lett. 13 (2006). No 4, 509-523] was first electronically published by Mathematical Research Letters several months ago at its home website: http://www.mrlonline.org/mrl/0000-000-00/Huang-Ji-Xu2.pdf. (The pdf file of the printed journal version can also be downloaded at http://www.math.uh.edu/~shanyuji/rank1.pdf).

研究动机与目标

• 理解当几何秩退化时，复球面之间正规全纯映射的结构。
• 解决中间维度范围 $4 \leq n \leq N \leq 3n-4$ 内从 $\mathbf{B}^n$ 到 $\mathbf{B}^N$ 的有理正规全旋映射的分类问题。
• 为具有退化秩的映射建立伪标准形，从而实现在秩一情形下的完整分类。
• 通过有理化定理将有理映射的结果推广至球面之间的 $C^3$-光滑 CR 映射。
• 识别出在存在非线性正规全纯映射的维度范围内，出现的新间隙现象。

提出的方法

• 为具有退化几何秩的复球面之间正规全纯映射建立伪标准形。
• 利用伪标准形分析几何秩为一的映射结构。
• 应用 [HJX05] 中的有理化定理，将有理映射的结果推广至球面之间的 $C^3$-光滑 CR 映射。
• 运用 CR 几何与厄米特型的技术，分析此类映射的刚性与标准形。
• 将 D’Angelo 映射的结构与其他可能的有理正规全纯映射进行比较，证明其在等价意义下的唯一性。
• 借助关于正规全纯映射与 CR 映射的已知结果，建立指定维度范围内的间隙现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 从 $\mathbf{B}^n$ 到 $\mathbf{B}^N$ 的几何秩为一的正规全纯映射的完整分类是什么？
• RQ2 在维度范围 $4 \leq n \leq N \leq 3n - 4$ 内，有理正规全纯映射可能的形式有哪些？
• RQ3 能否将有理正规映射的分类推广至球面之间的 $C^3$-光滑 CR 映射？
• RQ4 D’Angelo 映射在刻画给定维度范围内所有此类映射中起什么作用？
• RQ5 在该中间维度区域内，正规全纯映射分类中出现了何种新型间隙现象？

主要发现

• 所有从 $\mathbf{B}^n$ 到 $\mathbf{B}^N$ 的有理正规全纯映射，当 $4 \leq n \leq N \leq 3n - 4$ 时，均等价于 D’Angelo 映射 $F_\theta$。
• D’Angelo 映射 $F_\theta$ 是此类映射的唯一标准形，由参数 $\theta \in [0, \pi/2]$ 参数化。
• 该分类不仅适用于有理映射，也适用于从 $\partial\mathbf{B}^n$ 的一部分到 $\partial\mathbf{B}^N$ 的 $C^3$-光滑 CR 映射。
• 建立了新的间隙现象：在维度范围 $4 \leq n \leq N \leq 3n - 4$ 内，除 D’Angelo 映射族外，不存在其他有理正规全纯映射。
• 伪标准形构造成功捕捉了几何秩为一的情形，从而实现了完整分类。
• 结果扩展了先前关于正规全纯映射的研究，并确认了在中间维度区域内的刚性性质。