[论文解读] Holomorphic actions of higher rank lattices in dimension three

Serge Cantat, Abdelghani Zeghib|ArXiv.org|Sep 8, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用 8

一句话总结

本文对紧致凯勒三维流形上的高秩格点的全纯作用进行了分类，证明此类作用要么在自同构群的单位连通分支中几乎处处包含，要么为典型的库默尔型作用——即源自复环面的仿射作用模有限群。该关键结果完成了三维情形下齐默程序的全纯作用部分。

ABSTRACT

We classify all holomorphic actions of higher rank lattices on compact Kaehler manifolds of dimension 3. This provides a complete answer to Zimmer's program for holomorphic actions on compact Kaehler manifolds of dimension at most 3.

研究动机与目标

• 对紧致凯勒三维流形上高秩格点的所有全纯作用进行分类。
• 解决低维情形下齐默程序中关于全纯微分同胚的核心情形。
• 理解紧致凯勒三维流形自同构群连通分支群的结构。
• 确定此类作用何时源自复环面上的几何构造，特别是库默尔轨道空间。
• 建立二分法：作用要么几乎连通，要么几乎为库默尔型，并对非连通情形进行精确分类。

提出的方法

• 利用上同调理论与刚性定理分析格点在流形上同调上的作用。
• 应用马尔格里斯超刚性定理与高秩李群格点的 (T) 性质，以限制可能的表示形式。
• 通过塞尔贝格引理将问题约化为无扭有限指数子群，从而实现上同调分析。
• 研究不变解析子集，以及自同构群连通分支及其商群的结构。
• 运用李群理论与半单李代数实形式的分类，识别可能的目标群。
• 通过复环面的有限商及其解析解消构造库默尔型作用，表明其穷尽了非连通情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 高秩格点在紧致凯勒三维流形上的可能全纯作用有哪些？
• RQ2 此类作用能否被归类为具有几何意义的类型，例如源自环面作用的类型？
• RQ3 在何种条件下，格点作用在紧致凯勒三维流形上的像几乎包含于自同构群的单位连通分支中？
• RQ4 哪些李群可作为此类作用的扎里斯基闭包出现？其在自同构群中的实现形式为何？
• RQ5 库默尔型构造——即复环面的有限商——在多大程度上能涵盖所有非连通作用？

主要发现

• 所有高秩格点在紧致凯勒三维流形上的全纯作用，要么几乎包含于自同构群的单位连通分支中，要么几乎为库默尔型。
• 唯一可能非交换的高秩李群为局部同构于 $\mathrm{SL}_3(\mathbf{R})$ 或 $\mathrm{SL}_3(\mathbf{C})$ 的群。
• 在库默尔型情形中，格点 $\Gamma$ 与 $\mathrm{SL}_3(\mathbf{Z})$ 或 $\mathrm{SL}_3(\mathcal{O}_d)$ 有共轭关系，其中 $\mathcal{O}_d$ 为虚二次域的整数环。
• 作用在上同调上的表现是有限的，或几乎可延拓为 $\mathrm{SL}_3(\mathbf{R})$ 或 $\mathrm{SL}_3(\mathbf{C})$ 的非平凡表示，暗示强刚性。
• 流形 $M$ 与一个库默尔轨道空间双有理等价，或同构于四个标准例子之一：$\mathbb{P}^3(\mathbf{C})$，$\mathbb{P}^2$ 上的 $\mathbb{P}^2$-丛，$\mathbb{P}^2$ 上的主环面丛，或 $\mathbb{P}^2 \times B$（其中 $g(B) \geq 2$）。
• 即使环境李群 $G$ 的中心无限，只要其实秩至少为 2 且李代数为单的，该分类依然成立。