[论文解读] A new kind of augmentation of filtrations

Joseph Najnudel, Ashkan Nikeghbali|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文引入了一种新的滤子增强方式，称为N-增强，其介于右连续性和通常条件之间，解决了在保持随机过程的正则版本的同时扩展一致概率测度族之间的矛盾。证明了在N-增强下，关键结果（如首次到达时间定理和 càdlàg或连续适应版本的存在性）依然成立，同时在原始测度允许时仍能保持测度扩展的可能性。

ABSTRACT

Let $(Ω,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0},\mathbb{P})$ be a filtered probability space satisfying the usual assumptions: it is usually not possible to extend to $\mathcal{F}_{\infty}$ (the $σ$-algebra generated by $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$) a coherent family of probability measures $(\mathbb{Q}_t)$, each of them being defined on $\mathcal{F}_t$. It is known that for instance, on the Wiener space, this extension problem has a positive answer if one takes the filtration generated by the coordinate process, but can have a negative answer if one takes its usual augmentation. On the other hand, the usual assumptions are crucial in order to obtain the existence of regular versions of paths for most stochastic processes of interest, such as the local time of the standard Brownian motion, stochastic integrals, etc. In order to fix this problem, we introduce a new property for filtrations, intermediate between the right continuity and the usual conditions. We show that most of the important results of the theory of stochastic processes which are generally proved under the usual augmentation, such as the existence of regular version of trajectories or the début theorem, still hold under the N-augmentation; moreover this new augmentation allows the extension of a coherent family of probability measures whenever this is possible with the original filtration.

研究动机与目标

• 为解决在通常增强下，随机过程正则版本的存在性（如 càdlàg 局部时间）与一致概率测度族扩展之间的不相容性。
• 提出一种新的滤子性质——N-通常假设，其弱于通常条件但足以支持大多数随机过程结果。
• 证明N-增强在保持路径正则版本存在性的同时，当原始滤子允许时仍能实现测度扩展。
• 在基本空间 $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 和 $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 上，证明一致测度族可在N-增强下实现扩展。

提出的方法

• 将N-增强定义为包含原始滤子以及所有属于 $\mathcal{F}_0$ 且为可数个零测集 $B_n \in \mathcal{F}_n$ 的并集的子集的最小滤子。
• 引入N-通常假设：右连续性，且 $\mathcal{F}_0$ 包含所有可数个来自 $\mathcal{F}_n$ 的零测集的并集。
• 证明在N-增强下，首次到达时间定理及过程（如局部时间）的 càdlàg/连续适应版本的存在性仍然成立。
• 证明若 $\mathbb{Q}_t$ 是 $\mathcal{F}_t$ 上相对于 $\mathbb{P}_t$ 绝对连续的一致测度族，则 $\mathbb{Q}$ 在N-增强下可唯一扩展至 $\mathcal{F}_\infty$。
• 利用在 $\mathbb{P}$ 下为N-零测集的集合在 $\mathbb{Q}$ 下仍为N-零测集（当 $\mathbb{Q}_t \ll \mathbb{P}_t$ 时）的性质，确保扩展的一致性。
• 回顾帕尔塔萨拉西类型条件，在这些条件下测度扩展是可能的，并证明在 $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 和 $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 上这些条件成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当通常增强阻止测度族扩展时，是否仍能在保持随机过程正则版本的前提下，将 $\mathcal{F}_t$ 上的一致概率测度族 $\mathbb{Q}_t$ 扩展至 $\mathcal{F}_\infty$？
• RQ2 是否存在一种滤子增强方式，其严格弱于通常条件，但足以保证如局部时间等过程的 càdlàg 或连续适应版本的存在性？
• RQ3 N-增强是否足以保持首次到达时间定理及其他随机过程理论的基本结果？
• RQ4 在维纳空间上，N-增强是否同时允许测度族的扩展以及零点处局部时间的 càdlàg 版本的存在？
• RQ5 N-通常假设是否足以保证在 $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 和 $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 等基本空间中路径正则版本的存在？

主要发现

• N-增强保持了随机过程（如布朗运动在零点的局部时间）的 càdlàg 或连续适应版本的存在性。
• 在N-增强下，首次到达时间定理依然成立，确保了可选时间与预测时间的可测性。
• 若 $\mathbb{Q}_t$ 是 $\mathcal{F}_t$ 上相对于 $\mathbb{P}_t$ 绝对连续的一致测度族，则在N-增强下 $\mathbb{Q}$ 可唯一扩展至 $\mathcal{F}_\infty$。
• 在 $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 和 $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 上，配备坐标过程滤子时，一致测度族在N-增强下总能扩展至 $\mathcal{F}_\infty$。
• N-增强确保了在 $\mathbb{Q}_t \ll \mathbb{P}_t$ 时，所有在 $\mathbb{P}$ 下为N-零测集的集合在 $\mathbb{Q}$ 下仍为N-零测集，从而保证了扩展测度的唯一性与一致性。
• N-增强严格弱于通常增强，但足以维持随机分析中的核心结果，包括正则版本的存在性与测度扩展。