[论文解读] A new look at short-term implied volatility in asset price models with jumps

Aleksandar Mijatović, Peter Tankov|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在带跳的短期期权定价模型中对行权价进行新颖重标定的方法，表明隐含波动率会收敛到一个非恒定的极限，该极限取决于扩散波动率和跳跃活动的Blumenthal-Getoor指数。关键结果是一个极限隐含波动率公式，能够区分有限变差跳跃与无限变差跳跃，解释了为何无限变差Lévy模型在拟合短期市场数据方面表现更优。

ABSTRACT

We analyse the behaviour of the implied volatility smile for options close to expiry in the exponential Lévy class of asset price models with jumps. We introduce a new renormalisation of the strike variable with the property that the implied volatility converges to a non-constant limiting shape, which is a function of both the diffusion component of the process and the jump activity (Blumenthal-Getoor) index of the jump component. Our limiting implied volatility formula relates the jump activity of the underlying asset price process to the short end of the implied volatility surface and sheds new light on the difference between finite and infinite variation jumps from the viewpoint of option prices: in the latter, the wings of the limiting smile are determined by the jump activity indices of the positive and negative jumps, whereas in the former, the wings have a constant model-independent slope. This result gives a theoretical justification for the preference of the infinite variation Lévy models over the finite variation ones in the calibration based on short-maturity option prices.

研究动机与目标

• 解决固定行权价短期到期模型中隐含波动率理论发散与市场观察到的有界行为之间的脱节问题。
• 识别一种移动行权价参数化方式，使得当到期日趋于零时，隐含波动率能获得非退化极限。
• 刻画跳跃活动（通过Blumenthal-Getoor指数）与短期隐含波动率微笑形状之间的关系。
• 从理论上解释为何在标定短期期权价格时更偏好使用无限变差Lévy模型。

提出的方法

• 提出一种新的行权价参数化方式：$ k_t = \theta \sqrt{t \log(1/t)} $，该方式在到期日较短时趋近平价，但仍保持虚值状态。
• 在带跳的指数Lévy模型下，分析隐含波动率 $ \widehat{\sigma}(t, k_t) $ 在 $ t \downarrow 0 $ 时的渐近行为。
• 推导出极限隐含波动率函数 $ \sigma_0(\theta) = \max\left\{ \frac{-\theta}{\sqrt{1 - (\alpha_- - 1)^+}}, \sigma, \frac{\theta}{\sqrt{1 - (\alpha_+ - 1)^+}} \right\} $，其中 $ \alpha_+ $、$ \alpha_- $ 分别为正跳与负跳的Blumenthal-Getoor指数。
• 利用份额测度变换与渐近展开推导极限，依赖控制收敛定理与Lévy-Khintchine表示式。
• 应用看跌-看涨对称性与泰勒展开技术，控制期权价格展开中的高阶项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当行权价不固定时，如何对短期到期期权的隐含波动率曲面进行一致参数化？
• RQ2 在行权价随到期日趋近平价的移动行权价设定下，当到期日趋于零时，隐含波动率微笑的极限形状是什么？
• RQ3 跳跃活动的Blumenthal-Getoor指数如何影响短期隐含波动率，特别是在曲面的翼部？
• RQ4 为何无限变差Lévy模型在拟合短期期权价格方面优于有限变差模型？

主要发现

• 极限隐含波动率 $ \sigma_0(\theta) $ 是非恒定的，且依赖于扩散波动率 $ \sigma $ 与跳跃活动指数 $ \alpha_+ $、$ \alpha_- $。
• 对于无限变差跳跃（$ \alpha_+ \geq 1 $ 或 $ \alpha_- \geq 1 $），微笑的翼部由跳跃活动指数决定，具体形状取决于是否存在扩散项，可能呈现U形或V形。
• 对于有限变差跳跃（$ \alpha_+ < 1 $，$ \alpha_- < 1 $），极限微笑在翼部具有恒定斜率，其绝对值为1，与跳跃结构无关。
• 极限公式表明，当 $ |\theta| $ 较大时，隐含波动率微笑的斜率为 $ \frac{1}{\sqrt{1 - (\alpha_\pm - 1)^+}} $，当 $ \alpha_\pm \to 1 $ 时该值发散，表明在有限变差边界附近对跳跃活动高度敏感。
• 该模型证实，在所提出的移动行权价参数化下，市场观察到的短期到期隐含波动率有界性可自然出现，从而解决了先前模型中的一个关键不一致问题。