[论文解读] A New Look at The Crossed-Product of a C*-algebra by an Endomorphism

Ruy Exel|ArXiv.org|Dec 12, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通过自同态构造C*-代数的新交叉积方法，将转移算子作为额外结构引入。该构造推广了早期的方法，特别是针对具有遗传性值域的单同态情形，并表明Cuntz–Krieger代数 $\mathcal{O}_A$ 自然地作为由自同态和转移算子生成的、满足关系的普遍C*-代数的商代数出现。

ABSTRACT

We give a new definition for the crossed-product of a C*-algebra A by a *-endomorphism α, which depends not only on the pair (A,α) but also on the choice of a transfer operator (defined in the paper). With this we generalize some of the earlier constructions in the situations in which they behave best (e.g. for monomorphisms with hereditary range), but we get a different and perhaps more natural outcome in other situations. For example, we show that the Cuntz-Krieger algebra O_A arises as the result of our construction when applied to the corresponding Markov subshift and a very natural transfer operator.

研究动机与目标

• 推广现有的C*-代数自同态交叉积构造，特别是在早期方法失效或不自然的情形下。
• 将转移算子的概念作为交叉积构造的基本组成部分，其动机来自经典动力系统和算子代数。
• 提供一个统一的框架，使已知例子（如Cuntz–Krieger代数 $\mathcal{O}_A$）可作为由C*-代数、自同态和转移算子生成的普遍C*-代数的商代数被恢复。
• 通过使用Hilbert双模结构和冗余关系，解决先前构造的局限性，例如对遗传性值域或等距实现的要求。

提出的方法

• 定义一个由C*-代数 $A$、自同态 $\alpha$ 和满足对所有 $a,b \in A$ 有 $\mathcal{L}(\alpha(a)b) = a\mathcal{L}(b)$ 的转移算子 $\mathcal{L}$ 生成的普遍C*-代数 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$。
• 引入一个Hilbert双模 $M$，作为 $AS$ 的闭包，其中 $S$ 是满足 $Sa = \alpha(a)S$ 和 $S^*aS = \mathcal{L}(a)$ 的生成元。
• 通过由‘冗余’生成的理想 $\mathcal{I}$ 对 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ 取商，构造交叉积，其中冗余关系的形式为 $abS = kbS$，$a,b \in A$，$k \in \overline{ASS^*A}$。
• 利用 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ 的普遍性质，定义一个到 $\mathcal{O}_A$ 的*-同态，并通过证明该同态在 $\mathcal{I}$ 上消失，说明其可分解为商映射。
• 利用 $\mathcal{O}_A$ 在自由群 $\mathbf{F}(\mathcal{G})$ 上的分次结构，定义一个典范元素 $s = \alpha(Q)^{-1/2} \sum_{x \in \mathcal{G}} s_x$，使其满足 $S$ 的定义关系。
• 通过利用普遍性质并验证在 $\mathcal{I}$ 上消失，构造互逆的*-同态，从而建立 $C(\Omega_A) \mathop{\square}_{\alpha,\mathcal{L}} \mathbb{N}$ 与 $\mathcal{O}_A$ 之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新的C*-代数自同态交叉积构造，使其包含转移算子并推广现有构造？
• RQ2 当该新构造应用于关联的马尔可夫子移位和自然转移算子时，是否能导出Cuntz–Krieger代数 $\mathcal{O}_A$？
• RQ3 如何刻画普遍代数 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ 中的冗余理想 $\mathcal{I}$，以确保商代数是良定义的交叉积？
• RQ4 Hilbert双模结构 $M = \overline{AS}$ 在构造交叉积和确保商代数行为良好中起什么作用？
• RQ5 在什么条件下，普遍代数 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ 通过商掉 $\mathcal{I}$ 可满射地映射到 $\mathcal{O}_A$，且该映射何时为同构？

主要发现

• Cuntz–Krieger代数 $\mathcal{O}_A$ 同构于商代数 $C(\Omega_A) \mathop{\square}_{\alpha,\mathcal{L}} \mathbb{N}$，其中 $\Omega_A$ 是马尔可夫子移位路径空间上连续函数C*-代数的谱，$\alpha$ 是移位自同态，$\mathcal{L}$ 是通过在原像上取平均定义的转移算子。
• 通过将普遍代数 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ 对冗余理想 $\mathcal{I}$ 取商来构造交叉积，得到的C*-代数同构于 $\mathcal{O}_A$，从而为 $\mathcal{O}_A$ 提供了一种新的实现方式。
• *-同态 $\psi: \mathbb{T}(C(\Omega_A),\alpha,\mathcal{L}) \to \mathcal{O}_A$ 定义为将 $S$ 映射到 $s = \alpha(Q)^{-1/2} \sum_{x \in \mathcal{G}} s_x$，其在理想 $\mathcal{I}$ 上消失，从而保证 $\psi$ 可分解为商映射。
• 逆同态 $\phi: \mathcal{O}_A \to C(\Omega_A) \mathop{\square}_{\alpha,\mathcal{L}} \mathbb{N}$ 是良定义的，并被证明是 $\psi$ 诱导映射的逆，从而证明了同构关系。
• 证明表明，对于任意冗余 $(a,k)$，当 $\alpha(1) = 1$ 时，其像 $\psi(k)$ 满足 $\psi(k) = a$，这意味着 $\psi(a - k) = 0$，从而确认 $\mathcal{I}$ 包含于核中。
• 该构造表明，由冗余生成的理想 $\mathcal{I}$ 恰好是映射 $\psi$ 的核，因此商代数 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L}) / \mathcal{I}$ 同构于 $\mathcal{O}_A$。