[论文解读] A New Northcott Property for Faltings Height

Lucia Mocz|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文在$​\mathbb{C}$上建立了CM概化椭圆曲面上Faltings高度的新Northcott性质，证明在Colmez与Artin猜想下，有界高度的同构类数量有限。通过Kisin模的积分$p$-进霍德理论，分析霍德丛形变，计算了同源映射间的高度变化，得到了低维情形下的新Colmez型公式，并建立了同源类中高度变化的定量框架。

ABSTRACT

In this work we prove a new Northcott property for the Faltings height. Namely we show, assuming the Colmez Conjecture and the Artin Conjecture, that there are finitely many CM abelian varieties over the complex numbers of a fixed dimension which have bounded Faltings height. The technique developed uses new tools from integral p-adic Hodge theory to study the variation of Faltings height within an isogeny class of CM abelian varieties. In special cases, we are moreover able to use the technique to develop new Colmez-type formulas for the Faltings height.

研究动机与目标

• 在$​\mathbb{C}$上建立CM概化椭圆曲面上Faltings高度的新Northcott性质，证明有界高度下同构类数量有限。
• 为CM概化椭圆曲面上同源类中的Faltings高度变化开发定量计算方法。
• 在特殊低维情形下推导Faltings高度的新Colmez型公式。
• 应用积分$p$-进霍德理论，特别是Kisin模，研究CM背景下$p$-除子群的分歧与形变。
• 通过CM域中素数分裂的组合结构，将Faltings原始的Northcott性质推广至CM概化椭圆曲面的同源类。

提出的方法

• 利用Kisin模对CM概化椭圆曲面上的有限平坦子概形和$p$-除子群进行分类与分析。
• 使用有限Kisin模的Harder-Narasimhan理论，对同源映射的结构进行分解与研究。
• 通过$\bigwedge^k \mathfrak{M}$中饱和直线$\mathfrak{L}$的$v_u(\det(\phi_{\mathfrak{L}}))$计算相对霍德丛。
• 应用带有Kisin模的$p$-除子群形变理论，追踪同源映射间高度的变化。
• 通过Kisin模上弗罗贝尼乌斯映射行列式的显式$p$-进赋值分析分歧行为。
• 利用反射范数与CM理论，将算术不变量与CM域中的分裂行为关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 CM概化椭圆曲面上Faltings高度是否可在同源类中有界，且有界高度下同构类是否有限？
• RQ2 CM概化椭圆曲面间基本同源映射的Faltings高度如何变化，且该变化能否显式计算？
• RQ3 能否利用$p$-进霍德理论在低维CM情形下推导出Faltings高度的新Colmez型公式？
• RQ4 在多大程度上可利用积分$p$-进霍德理论，特别是通过Kisin模，研究同源类中的高度变化？
• RQ5 CM域中素数的分歧在Faltings高度变化中起何种作用？

主要发现

• 在Colmez与Artin猜想成立的前提下，固定维数$g$的CM概化椭圆曲面，其有界Faltings高度的同构类数量有限。
• 通过$\bigwedge^k \mathfrak{M}$中饱和直线的$v_u(\det(\phi_{\mathfrak{L}}))$计算了素数幂同源映射间的Faltings高度变化，对$p=2$与$p\equiv 1\mod 4$情形导出了显式公式。
• 当$p=2$且$[E:\mathbb{Q}_2]=4$完全分歧时，对$\mathfrak{L} \subseteq \bigwedge^2 \mathfrak{M}$有$v_u(\det(\phi_{\mathfrak{L}})) \in \{4(2^4-2^3), 4(2^4-2^3)+2^3\}$。
• 当$p=2$时，$\# \frac{1}{[K:\mathbb{Q}_p]} \log s^*\Omega^4_{\mathcal{H}/\mathcal{O}_K}$的公式涉及$R_1(2)=2(2^4-2^3)-2^3$，$R_2(2)=4(2^4-2^3)-2^3$，以及$R_3(2)=6(2^4-2^3)-2^3$。
• 论文在特殊情形（如循环阿贝尔曲面）下，通过无分歧与完全分歧情形下的微分计算，推导出了Faltings高度的新Colmez型公式。