[论文解读] A New Optimal Algorithm for Computing the Visibility Area of a simple Polygon from a Viewpoint

Hamid Hoorfar, Alireza Bagheri|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文提出了一种最优的 $O(n)$-时间算法，用于计算从简单多边形内部视点的可见区域，仅使用 $O(c / \text{log } n)$ 个变量（等价于 $O(c + \log n)$ 位），其中 $c$ 为临界顶点的数量。该方法利用次线性工作空间模型，将多边形边界按可见临界顶点之间的段进行处理，并通过基于角度的顶点排序和阴影计算，高效计算可见区域，实现线性时间复杂度，同时内存使用量极低。

ABSTRACT

Given a simple polygon $ \mathcal {P} $ of $ n $ vertices in the Plane. We study the problem of computing the visibility area from a given viewpoint $ q $ inside $ \mathcal {P} $ where only sub-linear variables are allowed for working space. Without any memory-constrained, this problem was previously solved in $ O(n) $-time and $ O(n) $-variables space. In a newer research, the visibility area of a point be computed in $ O(n) $-time, using $ O(\sqrt{n}) $ variables for working space. In this paper, we present an optimal-time algorithm, using $ O(c/\log n) $ variables space for computing visibility area, where $ c

研究动机与目标

• 解决计算几何中在严格内存限制下的可见区域计算问题。
• 在保持最优 $O(n)$ 时间复杂度的同时，降低可见区域算法的空间复杂度。
• 设计一种流式、常数内存模型算法，使用 $O(\log n)$-位变量和 $O(c/\log n)$ 个总变量，其中 $c$ 为临界顶点的数量。
• 为嵌入式系统或大规模几何处理等内存受限环境提供实用且高效的可见性计算解决方案。

提出的方法

• 该算法在只读数组中处理多边形边界，使用 $O(\log n)$-位变量进行索引和角度计算。
• 通过分析从视点 $q$ 到每个顶点的射线的角序，识别临界顶点（例如，凹顶点和可见性变化点）。
• 对于每对连续的可见临界顶点，算法通过基于角度的射线射击和阴影计算，计算它们之间链的可见区域。
• 阴影计算确定射线 $qp_i$ 与链上边的最近交点，从而实现可见区域边界的精确构建。
• 算法以逆时针顺序遍历多边形边界，使用位标志标记有效临界顶点，并独立处理每个段。
• 通过组合视点、最近阴影点以及链上可见顶点，构建每个链的可见区域，确保输出顺序为逆时针。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在使用次线性工作空间的前提下，以线性时间复杂度计算简单多边形从内部视点的可见区域？
• RQ2 在内存限制下，以 $O(n)$ 时间复杂度计算可见区域，所需的最少变量数（或位数）是多少？
• RQ3 如何高效识别并利用临界顶点——即可见性行为发生变化的点——以对多边形进行分区，实现渐进式可见性计算？
• RQ4 是否可以设计一种流式、原地算法，在使用 $O(c/\log n)$ 个变量（$c$ 为临界顶点数）的前提下实现最优时间复杂度？
• RQ5 当 $c \ll n$ 时，是否可能在空间复杂度低于 $O(\sqrt{n})$ 个变量的前提下，仍保持线性时间性能？

主要发现

• 该算法实现了计算简单多边形从内部视点可见区域的最优 $O(n)$ 时间复杂度。
• 空间复杂度降低至 $O(c / \log n)$ 个变量，或等价于 $O(c + \log n)$ 位，其中 $c$ 为临界顶点数。
• 该算法在常数内存模型下运行，使用 $O(\log n)$-位变量，支持高效的原地计算，无需外部存储。
• 通过将多边形划分为连续可见临界顶点之间的链，并以线性时间处理每条链，计算可见区域。
• 该方法利用角序和几何射线射击，正确识别阴影点和可见边界，确保输出顺序为逆时针。
• 该算法是首个在次线性空间下实现最优时间复杂度的算法，尤其在 $c \ll n$ 时表现优异，例如在凹顶点较少的多边形中。