[论文解读] A New Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Ill-posed Elliptic Cauchy Problems

Chunmei Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的原-对偶弱伽辽金有限元方法，用于求解病态椭圆柯西问题，该方法利用弱梯度并构建了一个对称且适定的离散系统，当精确解存在时可保持其精确性。该方法在缩放残差范数下实现了最优收敛率，并在处理具有挑战性的问题时表现出稳健且收敛的数值逼近效果。

ABSTRACT

A new numerical method is devised and analyzed for a type of ill-posed elliptic Cauchy problems by using the primal-dual weak Galerkin finite element method. This new primal-dual weak Galerkin algorithm is robust and efficient in the sense that the system arising from the scheme is symmetric, well-posed, and is satisfied by the exact solution (if it exists). An error estimate of optimal order is established for the corresponding numerical solutions in a scaled residual norm. In addition, a mathematical convergence is established in a weak $L^2$ topology for the new numerical method. Numerical results are reported to demonstrate the efficiency of the primal-dual weak Galerkin method as well as the accuracy of the numerical approximations.

研究动机与目标

• 解决病态椭圆柯西问题的数值解法，这些问题本质上不稳定且对数据不具有连续依赖性。
• 开发一种即使在底层PDE问题病态的情况下仍保持稳定和收敛的有限元方法。
• 通过原-对偶鞍点结构的弱伽辽金公式，构建一个对称且适定的离散系统。
• 在网格依赖的缩放残差范数下建立最优误差估计，并在数值解中实现弱$L^2$收敛。
• 通过在具有已知精确解的基准问题上的数值实验，展示该方法的稳健性和准确性。

提出的方法

• 使用涉及弱梯度和具有部分边界条件的测试函数的弱伽辽金混合变分形式来表述椭圆柯西问题。
• 在多边形/多面体网格上，对原变量及其弱梯度使用分片多项式逼近来对弱形式进行离散化。
• 通过将离散弱形式与对偶方程耦合，构建原-对偶弱伽辽金格式，以通过广义inf-sup条件实现稳定性。
• 通过将对偶变量嵌入变分公式中，确保所得线性系统的对称性和适定性。
• 使用缩放残差范数来度量误差，这对于在病态问题背景下分析收敛性至关重要。
• 应用广义inf-sup条件和新的数学工具，证明离散格式的稳定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种原-对偶弱伽辽金有限元方法，以稳定并准确求解病态椭圆柯西问题？
• RQ2 所提出的方法是否能产生一个对称且适定的离散系统，且当精确解存在时可被其满足？
• RQ3 在缩放残差范数下，数值解的收敛速率是多少？是否达到最优阶？
• RQ4 该方法在$L^2$和$H^1$范数下的表现如何？为何在某些情况下收敛速率可能显得次优？
• RQ5 当原始柯西问题病态或无解时，该方法是否仍能提供唯一且收敛的数值解？

主要发现

• 所提出的原-对偶弱伽辽金有限元方法产生了一个对称且适定的离散系统，当精确解存在时，该系统可被其满足。
• 在缩放残差范数下建立了$\mathcal{O}(h)$阶的最优误差估计，证实了理论收敛速率。
• 数值结果表明，梯度的$L^2$范数收敛率约为$\mathcal{O}(h)$，解的收敛率为$\mathcal{O}(h^2)$，与理论预期一致。
• 对于缩放残差范数$|||e_h|||_{h,\Gamma_d}$，在多个测试用例中均观察到$\mathcal{O}(h)$阶的收敛率，包括$u_1 = \sin(x)\sin(y)$、$u_2 = \cos(x)\cos(y)$和$u_3 = \cos(x)\sin(y)$，随着网格加密，收敛阶趋近于1.0。
• 该方法表现出稳健性：即使原始问题病态或无解，也能产生唯一的数值解。
• 弱$L^2$收敛在数学上已建立，尽管由于离散系统的病态性或条件数问题，$L^2$和$H^1$范数的收敛率可能略有降低。