[论文解读] A Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Fokker-Planck Type Equations

Chunmei Wang, Junping Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 20被引用 14

一句话总结

本论文提出了一种原始-对偶弱伽辽金（PD-WG）有限元方法，用于求解具有非光滑扩散张量的福克-普朗克型方程，通过将导数作用于测试函数以避免对精确解的正则性要求。该方法在多面体网格上使用弱海森矩阵和弱梯度算子，即使在解不连续的情况下也能实现最优收敛率。

ABSTRACT

This paper presents a primal-dual weak Galerkin (PD-WG) finite element method for a class of second order elliptic equations of Fokker-Planck type. The method is based on a variational form where all the derivatives are applied to the test functions so that no regularity is necessary for the exact solution of the model equation. The numerical scheme is designed by using locally constructed weak second order partial derivatives and the weak gradient commonly used in the weak Galerkin context. Optimal order of convergence is derived for the resulting numerical solutions. Numerical results are reported to demonstrate the performance of the numerical scheme.

研究动机与目标

• 解决具有非光滑或不连续扩散张量的福克-普朗克方程带来的数值挑战。
• 克服经典有限元方法对扩散张量光滑性假设的限制。
• 为具有不连续解和低正则性数据的问题开发稳定且收敛的格式。
• 在数值解中保持质量守恒和非负性等关键物理性质。
• 在最小正则性假设下，为所提方法提供理论收敛性分析。

提出的方法

• 将福克-普朗克方程以原始-对偶弱伽辽金变分形式进行公式化，使所有导数作用于测试函数。
• 引入弱海森矩阵算子以处理扩散项中的二阶导数，从而能够处理非光滑系数。
• 对对流项使用弱梯度，与弱伽辽金框架保持一致。
• 在多面体剖分上使用分片多项式构造有限元空间，以增强网格设计的灵活性。
• 采用包含原始变量和对偶变量的混合格式，以保证一致性和稳定性。
• 引入稳定化参数以增强数值稳定性，尤其适用于非光滑问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种在具有不连续扩散张量的福克-普朗克方程上仍保持收敛的有限元方法？
• RQ2 原始-对偶弱伽辽金格式是否在不依赖解正则性的情况下维持最优收敛率？
• RQ3 该方法在具有不连续精确解的问题（如扩散系数存在跳跃间断）中的表现如何？
• RQ4 该方法能否在离散解中保持质量守恒和非负性等物理性质？
• RQ5 该方法在不同网格细化和不同多项式逼近下的收敛行为如何？

主要发现

• 该方法实现了最优收敛率：在均匀网格加密下，能量范数中原始变量的收敛阶为2，L2范数中收敛阶也为2。
• 数值实验验证了光滑解情况下的最优收敛性，能量误差和L2误差的收敛阶均接近2。
• 对于具有不连续解的问题，即使精确解在单元界面处存在不连续，数值解仍能紧密逼近精确解。
• 该方法在具有不连续扩散张量的问题（如不同子域中为分段常数系数）中保持稳定且精确。
• 该方法在非结构化多面体网格上表现良好，展示了在复杂几何中的鲁棒性和灵活性。
• 在无精确解的情况下，该方法仍能生成物理解释合理的数值解，如10×10系数情形的等高线图和曲面图所示。