[论文解读] A New State-Space Representation of Lyapunov Stability for Coupled PDEs and Scalable Stability Analysis in the SOS Framework

Matthew M. Peet|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于耦合线性PDE系统（包括具有各种边界条件的抛物型、椭圆型和双曲型系统）的李雅普诺夫稳定性分析的新状态空间表示方法。通过将李雅普诺夫导数直接表示为$L_2$空间上的线性算子不等式，该方法消除了对分部积分或间距函数的依赖，从而在平方和（SOS）框架下实现可扩展的、无保守性的稳定性分析。

ABSTRACT

In this paper, we present a framework for Stability Analysis of Systems of Coupled Linear Partial-Differential Equations. The class of PDE systems considered in this paper includes parabolic, elliptic and hyperbolic systems with Dirichelet, Neuman and mixed boundary conditions. The results in this paper apply to systems with a single spatial variable and assume existence and continuity of solutions except in such cases when existence and continuity can be inferred from existence of a Lyapunov function. Our approach is based on a new concept of state for PDE systems which allows us to express the derivative of the Lyapunov function as a Linear Operator Inequality directly on $L_2$ and allows for any type of suitably well-posed boundary conditions. This approach obviates the need for integration by parts, spacing functions or similar mathematical encumbrances. The resulting algorithms are implemented in Matlab, tested on several motivating examples, and the codes have been posted online. Numerical testing indicates the approach has little or no conservatism for a large class of systems.

研究动机与目标

• 开发一种适用于具有多种边界条件的耦合线性PDE系统、可扩展且无保守性的稳定性分析框架。
• 消除在基于李雅普诺夫的稳定性证明中对分部积分、间距函数或其他复杂数学构造的需求。
• 实现李雅普诺夫导数条件在$L_2$空间中作为线性算子不等式的直接表述。
• 支持广泛的PDE类型，包括抛物型、椭圆型和双曲型系统，边界条件涵盖狄利克雷型、诺伊曼型及混合型。
• 提供一种数值上可处理且可实现的方法，利用平方和（SOS）优化，并通过数值测试加以验证。

提出的方法

• 提出一种新的PDE系统状态空间表示，便于在$L_2$空间中直接表达李雅普诺夫函数导数。
• 将稳定性条件表述为$L_2$空间上的线性算子不等式（LOI），避免使用分部积分和辅助函数。
• 确保该框架适用于具有任意适定边界条件的系统，包括混合类型边界条件。
• 在MATLAB中实现相关算法，并公开发布代码以支持可复现性和测试。
• 应用平方和（SOS）框架对LOI进行数值求解，实现可扩展的稳定性分析。
• 在多个基准示例上验证该方法，以展示其低保守性和鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种新的状态空间表示，使得在不依赖分部积分的前提下，简化耦合PDE的李雅普诺夫稳定性分析？
• RQ2 所提出的框架在多大程度上能够处理多种PDE类型，包括抛物型、椭圆型和双曲型系统？
• RQ3 缺乏间距函数或辅助构造对稳定性分析的保守性有何影响？
• RQ4 所得到的线性算子不等式形式能否通过平方和优化高效求解？
• RQ5 该方法在不同边界条件和PDE类别下的数值性能与可扩展性如何？

主要发现

• 所提出的状态空间表示使得李雅普诺夫导数可直接表述为$L_2$空间中的线性算子不等式，从而绕过了传统分析中的复杂负担。
• 该方法适用于具有狄利克雷型、诺伊曼型及混合边界条件的抛物型、椭圆型和双曲型PDE。
• 数值测试表明，该方法对一大类系统表现出极低甚至无保守性。
• 该框架避免了使用分部积分、间距函数或其他常用于PDE稳定性分析的复杂数学工具。
• 在MATLAB中的实现及公开代码发布，支持了方法的可复现性与实际应用。
• 平方和（SOS）框架成功实现了在所提框架内可扩展且数值可处理的稳定性分析。