[论文解读] A new survey: Cone metric spaces

Suzana Aleksić, Zoran Kadelburg+2 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2018

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 158被引用 13

一句话总结

本文对锥度量空间进行了全面综述，表明在非正规、非实心锥中，大多数不动点问题均可通过Minkowski泛函转化为标准度量空间中的等价问题。其主要贡献在于提出了一种通用的约化技术，证明实心锥可被常数为1的正规锥替代，从而简化分析并保留核心结果，尽管仍存在部分问题无法约化为标准度量。

ABSTRACT

The purpose of this new survey paper is, among other things, to collect in one place most of the articles on cone (abstract, K-metric) spaces, published after 2007. This list can be useful to young researchers trying to work in this part of functional and nonlinear analysis. On the other hand, the existing review papers on cone metric spaces are updated. The main contribution is the observation that it is usually redundant to treat the case when the underlying cone is solid and non-normal. Namely, using simple properties of cones and Minkowski functionals, it is shown that the problems can be usually reduced to the case when the cone is normal, even with the respective norm being monotone. Thus, we offer a synthesis of the respective fixed point problems arriving at the conclusion that they can be reduced to their standard metric counterparts. However, this does not mean that the whole theory of cone metric spaces is redundant, since some of the problems remain which cannot be treated in this way, which is also shown in the present article.

研究动机与目标

• 整理并更新2007年后发表的关于锥度量空间的文献。
• 通过证明非正规、非实心锥可被约化为正规锥情形，解决其处理中的冗余问题。
• 证明锥度量空间中大多数不动点问题与标准度量空间中的对应问题等价。
• 识别并突出显示在锥度量空间中无法通过此类约化处理的持久性问题。
• 精炼并统一现有锥度量空间与K-度量空间的理论框架。

提出的方法

• 利用Minkowski泛函将非正规锥转化为正规锥（正规常数为1）。
• 分析有序拓扑线性空间的结构及实心与非实心锥的作用。
• 证明任一拓扑线性空间中的实心锥可被赋范空间中实心且正规的锥所替代。
• 应用半范数与凸集理论刻画锥度量空间的拓扑结构。
• 通过构造等价标准度量，建立锥度量空间的可度量化性质。
• 比较与对比不同锥类型（正规、非正规、实心、非实心）下的结果，识别可约化与不可约化情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将具有非正规锥的锥度量空间中的不动点结果约化为标准度量空间的结果？
• RQ2 在何种条件下，可无损地用正规锥替代非正规锥？
• RQ3 锥的何种结构性质使得锥度量问题可被约化为标准度量问题？
• RQ4 锥度量空间中哪些不动点问题无法约化为标准度量？
• RQ5 Minkowski泛函如何促进拓扑线性空间中锥结构的变换？

主要发现

• 在具有实心锥的锥度量空间中，大多数不动点问题可通过将锥替换为正规常数为1的正规锥，约化为标准度量空间中的等价问题。
• Minkowski泛函的使用可将任意实心锥转化为正规锥，同时保持本质的度量结构不变。
• 锥度量空间理论并非完全冗余，因为某些问题（尤其是依赖于特定锥结构的问题）无法约化为标准度量。
• 本文证实锥度量空间是可度量化的，但这并不意味着所有不动点结果都与标准度量结果等价。
• 分析表明，锥的正规性假设通常并非必要，因为非正规锥可通过泛函变换被替换为正规锥。
• 该综述识别并更新了300余篇相关文献，为非线性和泛函分析领域的研究人员提供了全面且最新的参考。