[论文解读] A new take on spherical, Whittaker and Bessel functions (Spherical and Whittaker functions via DAHA I,II)

Ivan Cherednik, Xiaoguang Ma|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 8

一句话总结

本文通过双仿射赫克代数（DAHA）建立了一个新颖的球函数、Whittaker函数和贝塞尔函数的框架，统一了p进与量子可积系统。证明了仿射对称化子的两个公式之间的比例关系——一个通过Satake型映射，另一个通过DAHA的多项式表示——并推广了Kac-Moody与Demazure特征公式。该研究进一步引入了旋量Whittaker函数，并将其与q-Toda-Dunkl算子及仿射Knizhnik-Zamolodchikov方程联系起来。

ABSTRACT

This paper is based on the lectures given by the first author at Harvard in February and March, 2009. It begins with an introduction to the classical p-adic theory of the Macdonald, Matsumoto and Whittaker functions. Its major directions are as follows: 1) extending the theory of DAHA to arbitrary levels; 2) the affine Satake isomorphism and Hall functions via DAHA; 3) the spinor Dunkl operators for the Q-Toda equation; 4) applications to the nil-DAHA and q-Whittaker functions; 5) the technique of spinors in the differential theory and its applications to the AKZ-QMBP isomorphism theorem.

研究动机与目标

• 通过DAHA统一球函数与Whittaker函数的理论，将经典的p进与Macdonald理论推广至仿射与量子设置。
• 利用DAHA的多项式表示，为仿射Hall函数建立一个新的Satake型同构。
• 在秩一情形下发展旋量（非对称）Whittaker理论，将q-Toda-Dunkl算子与仿射Knizhnik-Zamolodchikov方程联系起来。
• 通过DAHA-Fourier对偶性与共振理论，阐明全局函数及其渐近展开的几何与范畴意义。
• 通过K理论与单值性解释，探索DAHA、Verlinde代数、W代数与量子Langlands程序之间的联系。

提出的方法

• 利用DAHA的多项式表示，推导出仿射对称化子的新公式，与经典的Satake型公式形成对比。
• 在DAHA中应用E-多项式与P-hat构造，推导出任意层级下Hall函数与对称化子的显式公式。
• 通过nil-DAHA与Ruijsenaars极限引入旋量Whittaker函数，构造q-Toda-Dunkl算子的特征函数。
• 利用旋量Dunkl算子，建立仿射Knizhnik-Zamolodchikov方程与量子多体问题（Heckman-Opdam系统）之间的同构关系。
• 通过退化DAHA与有理极限，连接贝塞尔函数与Hankel变换，实现复分析理论。
• 利用DAHA-Fourier变换与高斯加权多项式表示的自对偶性，将全局函数定义为再生核。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Satake映射与DAHA的多项式表示表达仿射对称化子？其比例关系具有何种意义？
• RQ2 旋量（非对称）Whittaker函数在q-Toda与AKZ系统中的作用是什么？其与全局q-Whittaker函数的关系如何？
• RQ3 全局函数的渐近展开，包括扇形壁面处的共振条件，如何决定其全局解析结构？
• RQ4 nil-DAHA中旋量帽表示及其与bar表示的对偶性，其几何与K理论解释为何？
• RQ5 AKZ方程单值性导出的关联子如何与DAHA中的q-伽马函数及多对数结构相关联？

主要发现

• 严格证明了仿射对称化子的两个公式——通过Satake型映射与通过DAHA多项式表示——之间的比例关系，推广了Kac-Moody与Demazure特征公式。
• 旋量q-Whittaker函数的p进极限产生了一类新的非对称p进Whittaker函数，适用于任意根系。
• 在秩一情形下，P-hat函数在Y-幂作用下稳定，其极限被证明是q-Toda方程的解。
• 旋量Whittaker函数通过DAHA构造为q-Toda-Dunkl系统的解，其显式公式由E-多项式与互换子理论导出。
• 通过旋量Dunkl算子，建立了仿射Knizhnik-Zamolodchikov方程与量子多体问题（Heckman-Opdam系统）之间的典范同构。
• 证明了全局q-Whittaker函数是DAHA-Fourier变换的再生核，其解析结构由渐近展开与共振条件唯一确定。