[论文解读] A new type of the Gronwall-Bellman inequality and its application to fractional stochastic differential equations

Qiong Wu|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的Gronwall-Bellman不等式，统一了非奇异与奇异积分类型，使得能够分析阶数满足 $0<\alpha<1$ 的分数阶随机微分方程（SDE）。通过利用二项式函数以及Gamma函数和Mittag-Leffler函数的性质，作者建立了该类方程解的存在性与唯一性，并利用伊tô公式推导出分数阶Fokker-Planck-Kolmogorov方程。

ABSTRACT

This paper presents a new type of Gronwall-Bellman inequality, which arises from a class of integral equations with a mixture of nonsingular and singular integrals. The new idea is to use a binomial function to combine the known Gronwall-Bellman inequalities for integral equations having nonsingular integrals with those having singular integrals. Based on this new type of Gronwall-Bellman inequality, we investigate the existence and uniqueness of the solution to a fractional stochastic differential equation (SDE) with fractional order on (0, 1). This result generalizes the existence and uniqueness theorem related to fractional order (1/2 1) appearing in [1]. Finally, the fractional type Fokker-Planck-Kolmogorov equation associated to the solution of the fractional SDE is derived using It^o's formula.

研究动机与目标

• 解决现有Gronwall-Bellman不等式在结合非奇异与奇异积分的分数阶SDE中应用不足的问题。
• 为分数阶随机动力学中出现的混合型积分方程构建统一的积分不等式框架。
• 针对阶数满足 $0<\alpha<1$ 的分数阶SDE，建立解的存在性与唯一性，扩展以往仅限于 $\frac{1}{2}<\alpha<1$ 的结果。
• 通过伊tô公式推导与分数阶SDE解相关的分数阶Fokker-Planck-Kolmogorov方程。

提出的方法

• 通过结合二项式函数与已知的非奇异及奇异积分不等式，提出一种新型Gronwall-Bellman型不等式。
• 定义算子 $B\phi(t)$ 以处理涉及标准积分与Riemann-Liouville型奇异积分的混合积分项。
• 利用数学归纳法与Gamma函数恒等式，验证在有界、单调不减、非负函数 $a(t)$、$b(t)$ 与 $g(t)$ 条件下该不等式的有效性。
• 建立上界 $u(t) \leq a(t) + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} b^{n-i}(t) g^i(t) \frac{[\Gamma(\alpha)]^i}{\Gamma(i\alpha + n - i)} \int_0^t (t-s)^{i\alpha - (i+1-n)} a(s) \, ds$。
• 将新不等式应用于通过压缩映射原理证明分数阶SDE解的存在性与唯一性。
• 通过将伊tô公式应用于解过程并取条件期望，推导出分数阶Fokker-Planck-Kolmogorov方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为同时包含非奇异与奇异积分的积分方程构建统一的Gronwall-Bellman不等式？
• RQ2 该新不等式是否能够实现对阶数满足 $0<\alpha<1$ 的分数阶SDE解的存在性与唯一性的证明？
• RQ3 具有混合阶动态的分数阶SDE的解在概率密度演化方面如何表现？
• RQ4 描述解的概率密度时间演化的Fokker-Planck-Kolmogorov方程具有何种形式？

主要发现

• 为包含混合非奇异与奇异积分的积分方程，建立了一种新的Gronwall-Bellman不等式，推广了以往仅针对单一类型积分的结果。
• 该不等式为 $u(t)$ 提供了显式上界，其中包含二项式系数、Gamma函数以及幂律核的迭代积分。
• 利用新不等式与压缩映射原理，证明了阶数满足 $0<\alpha<1$ 的分数阶SDE解的存在性与唯一性。
• 分数阶Fokker-Planck-Kolmogorov方程被推导为 $\frac{\partial P^X}{\partial t} = A^*_1 P^X + \alpha \int_0^t (t-s)^{\alpha-1} A^*_2 P^X(s,x) \, ds$，初始条件为 $P^X(0,x) = \delta_{x_0}(x)$。
• 该方程以空间算子 $A^*_x$ 与 $B^*_x$ 表示，其包含SDE中的漂移与扩散系数。
• 推导过程依赖于伊tô公式、条件期望与Fubini定理，将SDE转化为具有记忆效应的前向Kolmogorov型方程。