[论文解读] A new upper bound on the chromatic number of graphs with no odd $K_t$ minor

Sergey Norin, Zi‐Xia Song|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文建立了不含奇 $K_t$ 子式图的色数的新上界，证明其为 $O(t("log t)^eta)$-可染色，其中 $eta > rac{1}{4}$，优于此前的 $O(tackslashackslashsqrt{ackslashackslashlog t})$ 上界。该结果通过在弱连通图中应用结构分解与链接技术，扩展了近期关于无子式图着色的研究成果。

ABSTRACT

Gerards and Seymour conjectured that every graph with no odd $K_t$ minor is $(t-1)$-colorable. This is a strengthening of the famous Hadwiger's Conjecture. Geelen et al. proved that every graph with no odd $K_t$ minor is $O(t\sqrt{\log t})$-colorable. Using the methods the present authors and Postle recently developed for coloring graphs with no $K_t$ minor, we make the first improvement on this bound by showing that every graph with no odd $K_t$ minor is $O(t(\log t)^β)$-colorable for every $β> 1/4$.

研究动机与目标

• 改进不含奇 $K_t$ 子式图的色数上界，该问题与奇 Hadwiger 猜想密切相关。
• 将近期关于 $K_t$-无子式图的研究进展推广至奇子式情形，其中结构约束更强。
• 建立形如 $O(t(\log t)^\beta)$ 的近乎多项式上界，其中 $eta > 1/4$，缩小与猜想中 $(t-1)$-可染色性之间的差距。
• 提出并应用一种新的弱连通性与根链接概念，以管理不含奇 $K_t$ 子式图中的结构复杂性。

提出的方法

• 引入一种新的连通性概念——弱 $l$-连通性，以控制不含奇 $K_t$ 子式图的结构分解。
• 采用基于寻找高弱连通性与高色数子图的递归着色策略。
• 应用 Menger 定理与链接定理，构造顶点不相交路径，并通过子图中的 $K_{2x}$-展开实现路径重定向。
• 通过组合重定向的链接与特定顶点为根的树，构造图中的二分图 $K_{xy}$-展开。
• 在中心子图中利用奇偶性编织集与 $8k$-连通性，嵌入一个大的完全二分图子式。
• 将所有组件整合为一个支持 $K_{xy}$-展开的单个二分图子图，从而暗示高色数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将不含奇 $K_t$ 子式图的色数上界降低至 Geelen 等人建立的 $O(t\sqrt{\log t})$ 门槛以下？
• RQ2 针对 $K_t$-无子式图开发的技术在多大程度上可适配至奇子式情形？
• RQ3 在奇子式情形下，是否可能实现形如 $O(t(\log t)^\beta)$ 且 $eta > 1/4$ 的上界，与 $K_t$-无子式图的最优已知上界一致？
• RQ4 如何利用弱连通性与根链接构造不含奇 $K_t$ 子式图中的大二分图子式？

主要发现

• 任何不含奇 $K_t$ 子式图的色数均被 $O(t(\log t)^\beta)$ 所界定，其中 $eta > \frac{1}{4}$，优于此前的 $O(t\sqrt{\log t})$ 上界。
• 该结果确认了向奇 Hadwiger 猜想迈出的重要一步，该猜想认为此类图是 $(t-1)$-可染色的。
• 证明引入了一种新的弱连通性概念，使得不含奇 $K_t$ 子式图的结构分解成为可能。
• 关键技术突破在于：在中心子图中利用重定向链接与奇偶性编织集，构造出二分图 $K_{xy}$-展开。
• 该方法成功地将近期关于 $K_t$-无子式图着色的进展推广至更复杂的奇子式情形。
• 对于 $eta > 1/4$，$O(t(\log t)^\beta)$ 的上界与 $K_t$-无子式图的最优已知上界一致，表明当前方法的紧致性。