[论文解读] Breaking the degeneracy barrier for coloring graphs with no $K_t$ minor

Sergey Norin, Postle, Luke+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 35被引用 24

一句话总结

该论文改进了不含 $K_t$ 小节的图的色数上界，证明此类图是 $O(t( ext{log} t)^eta)$-可染色的，其中任意 $eta > 1/4$，从而打破了由 Kostochka 和 Thomason 建立的长期存在的 $O(t\sqrt{\text{log} t})$ 退化性障碍。证明使用了密度增量论证和基于连通性的图小节构造技术，超越了以往的渐近极限。

ABSTRACT

In 1943, Hadwiger conjectured that every graph with no $K_t$ minor is $(t-1)$-colorable for every $t\geq 1$. In the 1980s, Kostochka and Thomason independently proved that every graph with no $K_t$ minor has average degree $O(t\sqrt{\log t})$ and hence is $O(t\sqrt{\log t})$-colorable. We show that every graph with no $K_t$ minor is $O(t(\log t)^β)$-colorable for every $β> 1/4$, making the first improvement on the order of magnitude of the Kostochka-Thomason bound.

研究动机与目标

• 为突破不含 $K_t$ 小节图的色数上界 $O(t\sqrt{\text{log} t})$ 的长期障碍，该界限曾与退化性相关并被认为紧致。
• 反驳一种‘普遍表达的反猜想’，即此类图需要 $Ω(t\sqrt{\text{log} t})$ 种颜色。
• 在色数上界的渐近阶上实现质的改进，超越常数因子优化，达到更优的增长率。
• 将结果推广至列表染色和奇小节，展示新方法的更广泛应用性。

提出的方法

• 引入密度增量论证，用于在任意足够密集的不含 $K_t$ 小节图中识别出一个稠密子图。
• 提出基于连通性的图小节构造技术，证明高度连通且包含多个不相交稠密子图的图包含一个 $K_t$ 小节。
• 利用定理 2.4 在稠密的不含 $K_t$ 小节图中找到一个小型稠密子图，从而实现迭代优化。
• 应用定理 2.6 通过边收缩将多个稠密且高度连通的子图连接成一个 $K_t$ 小节。
• 结合已知的退化性界和连通性阈值，推导出改进的色数界。
• 通过引入新的技术变体（包括对高度连通的不含 $K_t$ 小节图的大小界），将方法适配至列表染色和奇小节。

实验结果

研究问题

• RQ1 不含 $K_t$ 小节图的色数能否被 $O(t(\text{log} t)^\beta)$ 界定，其中 $β < 1/2$，从而改进 $O(t\sqrt{\text{log} t})$ 的界限？
• RQ2 是否 $O(t\sqrt{\text{log} t})$ 的退化性界限确实紧致，还是可实现渐近改进？
• RQ3 用于界定色数的方法能否推广至不含 $K_t$ 小节图的列表染色和奇小节？
• RQ4 在不含 $K_t$ 小节图中，强制产生 $K_t$ 小节所需的连通性和稠密性条件的极限行为是什么？

主要发现

• 每个不含 $K_t$ 小节的图都是 $O(t(\text{log} t)^\beta)$-可染色的，其中任意 $\beta > 1/4$，这是首次在阶的量级上超越 Kostochka-Thomason 界的改进。
• 该界 $O(t\sqrt{\text{log} t})$ 并不紧致，本文反驳了‘普遍表达的反猜想’，即此为最优渐近界。
• 提出一种新的密度增量论证（定理 2.4），可在任意稠密的不含 $K_t$ 小节图中识别出一个小型稠密子图。
• 提出一种基于连通性的图小节构造方法（定理 2.6），证明高度连通且包含多个不相交稠密子图的图包含一个 $K_t$ 小节。
• 该方法可推广至列表染色：每个不含 $K_t$ 小节的图都是 $O(t(\text{log} t)^\beta)$-列表可染色的，其中任意 $\beta > 1/4$。
• 该结果也适用于奇小节：每个不含奇 $K_t$ 小节的图都是 $O(t(\text{log} t)^\beta)$-可染色的，其中任意 $\beta > 1/4$。