[论文解读] A new version of Brakke's local regularity theorem

Ananda Lahiri|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了一种欧几里得空间中积分Brakke流的Brakke局部正则性定理的新版本，通过初始高度较小、测度有界以及质量非零的假设，将光滑图象正则性的时域扩展至最终时间 $ t_2 $。关键进展在于证明：初始局部图象且梯度较小的流，在整个时间区间内保持图象性与光滑性直至 $ t_2 $，从而将Brakke与White的正则性定理推广至Brakke流的弱设定下。

ABSTRACT

Consider an integral Brakke flow $(μ_t)$, $t\in [0,T]$, inside some ball in Euclidean space. If $μ_{0}$ has small height, its measure does not deviate too much from that of a plane and if $μ_{T}$ is non-empty, then Brakke's local regularity theorem yields that $(μ_t)$ is actually smooth and graphical inside a smaller ball for times $t\in (C,T-C)$ for some constant $C$. Here we extend this result to times $t\in (C,T)$. The main idea is to prove that a Brakke flow that is initially locally graphical with small gradient will remain graphical for some time. Moreover we use the new local regularity theorem to generalise White's regularity theorem to Brakke flows.

研究动机与目标

• 将Brakke的局部正则性定理扩展至包括至最终时间 $ t_2 $ 的正则性，而非仅至 $ t_2 - C $，在积分Brakke流的背景下。
• 建立在测度与高度约束下，初始局部图象且梯度较小的Brakke流在包含 $ t_2 $ 的正时间区间内保持图象性与光滑性的条件。
• 通过证明高斯密度比接近1时可推出曲率估计与图象正则性，将White的局部正则性定理推广至Brakke流。
• 通过改进单调性公式与测度论估计的使用，为弱平均曲率流中的正则性提供严谨框架。

提出的方法

• 使用Huisken的单调性公式，并通过Ecker的截断函数实现其局部化，以控制测度衰减与曲率行为。
• 引入一种新的与时间相关的图象表示 $ u(t, \bullet) $，其梯度满足控制条件 $ \sup |Du| \leq \alpha_0^{-1} \rho^{-2}(t - t_1) $，以确保光滑性。
• 应用改进的高程界与平面的测度比较，以控制初始薄层中偏离平坦性的偏差。
• 建立基于高斯密度比接近1的新局部正则性条件，类比于White定理，但扩展至Brakke流。
• 使用迭代子列收敛性论证与紧致性，在嵌套区域上构造极限Brakke流，确保跨尺度的一致性。
• 利用Ilmanen与Ecker在单调性与曲率估计方面的工作，推导出在初始数据较小条件下的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Brakke的局部正则性定理能否被扩展，以保证在最终时间 $ t_2 $ 而非仅在 $ t_2 - C $ 之前实现光滑图象正则性？
• RQ2 在何种条件下，初始局部图象且梯度较小的Brakke流能保持图象性与光滑性，且该正则性区间包含 $ t_2 $ ？
• RQ3 基于高斯密度比的White曲率估计能否推广至积分Brakke流的设定？
• RQ4 如何利用测度论与几何约束——如小高度、与平面的测度偏差小、质量非零——来确保长时间正则性？
• RQ5 在初始数据与测度有界条件下，图象正则性在最优时间区间内持续多久？

主要发现

• 建立了一项新的局部正则性定理，保证在初始测度位于高度为 $ \gamma\rho $ 的窄薄层内（$ \gamma \in [0, \gamma_0] $）且 $ t_1 $ 时刻测度有界于 $ (2 - \lambda)\omega_n \rho^n $ 的前提下，Brakke流在时间 $ t_2 $ 前保持光滑图象正则性。
• 正则性的时间区间被扩展至 $ I = (t_1 + \gamma^{\alpha_0}\rho^2, t_2) $，其中 $ \alpha_0 \in (0,1) $，表明正则性可保持至最终时间 $ t_2 $，而不仅限于其之前。
• 存在一个图象表示 $ u \in C^\infty(I \times \mathbf{B}^n(\hat{a}, \gamma_0\rho), \mathbb{R}^k) $，使得 $ \mu_t \mathop{\vrule height=5.59721pt,depth=0.0pt,width=0.51663pt\vrule height=0.4736pt,depth=0.0pt,width=4.73611pt} \mathbf{C}(a, \gamma_0\rho, \rho) = \mathscr{H}^n \mathop{\vrule height=5.59721pt,depth=0.0pt,width=0.51663pt\vrule height=0.4736pt,depth=0.0pt,width=4.73611pt} \mathrm{graph}(u(t, \cdot)) $，从而确保光滑性与图象性。
• 图象的梯度得到一致控制：$ \sup |Du(t, \cdot)| \leq \alpha_0^{-1} \rho^{-2}(t - t_1) $，确保对所有 $ t \in I $，流保持图象性与光滑性。
• 证明了一项新的White型正则性定理：若高斯密度比接近1，则Brakke流变为局部图象且光滑，将White的结果推广至弱设定。
• 证明依赖于改进的测度估计、单调性公式与迭代紧致性论证，以在嵌套区域上构造一致的极限Brakke流，确保正则性传播。