[论文解读] A Non-commutative Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing

Zeqian Chen|ArXiv.org|Dec 26, 2001

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文在量子概率空间中建立了资产定价基本定理的非交换类比，证明了无套利（无风险趋近于零的免费午餐）与冯诺依曼代数设定下资产价格过程的鞅态的存在性等价。关键贡献在于通过相对于固定态的条件期望定义的基于态的鞅，提出了非交换版本的等价鞅测度条件，将经典资产定价理论推广至量子金融模型。

ABSTRACT

In this note, a non-commutative analogue of the fundamental theorem of asset pricing in mathematical finance is proved.

研究动机与目标

• 将经典的资产定价基本定理推广至非交换（量子）概率空间。
• 在冯诺依曼代数框架下形式化量子套利与量子交易策略的概念。
• 在无套利成立的条件下，建立等价鞅测度条件的非交换类比。
• 通过使用固定态而非迹态，推广非交换设定下鞅的概念。
• 证明无风险趋近于零的免费午餐的缺失意味着资产价格过程存在鞅态。

提出的方法

• 使用有限冯诺依曼代数 A 和忠实正规迹态 τ，形式化非交换概率空间。
• 引入 A 的单位弱闭 *-子代数族 (A_t) 的滤子，表示信息流动。
• 将相对于固定态 σ 的非交换鞅定义为适应于 (A_t) 的族 {M_t}，使得对所有 a ∈ A_s 及 s ≤ t，有 σ(aM_t a*) = σ(aM_s a*)。
• 利用 Yan (1980) 的穷竭论证，构造 A 上正线性泛函的最大支撑。
• 应用引理 2，证明归一化泛函 τ_{b_0} 是价格过程 X 的鞅态。
• 通过反证法证明主要结果：若不存在此类鞅态，则可构造出无风险趋近于零的免费午餐。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，量子金融市场中的无套利对应于冯诺依曼代数中资产价格的鞅态存在？
• RQ2 如何在不依赖迹态的前提下，将经典等价鞅测度的概念推广至非交换概率空间？
• RQ3 能否在非交换设定下，通过基于态的鞅条件表征无风险趋近于零的免费午餐？
• RQ4 线性泛函的支撑在构造非交换资产定价的鞅态过程中起什么作用？
• RQ5 使用固定态 σ 而非迹态，对非交换鞅的定义与性质有何影响？

主要发现

• 无套利（无风险趋近于零的免费午餐）等价于资产价格过程 X 存在鞅态。
• 非交换鞅通过条件 σ(aM_t a*) = σ(aM_s a*) 对所有 a ∈ A_s 及 s ≤ t 定义，推广了经典定义。
• 泛函 τ_{b_0} 的最大支撑 s(τ_{b_0}) = 1 意味着 τ_{b_0} 是忠实态。
• 证明了归一化泛函 τ_{b_0} 是 X 的鞅态，从而在非交换设定下证明了等价鞅测度的存在性。
• 该证明依赖于正泛函支撑格上的穷竭论证，确保最大元的存在性。
• 该结果将经典资产定价基本定理推广至非交换概率空间，为量子金融模型提供了基础。