[论文解读] A non-increasing Lindley-type equation

Maria Vlasiou|TU/e Research Portal (Eindhoven University of Technology)|Apr 22, 2014

Numerical methods for differential equations被引用 3

一句话总结

本文研究了一个非递增的Lindley型方程 $ W_{n+1} = \max\{0, B_{n+1} - A_n - W_n\} $，用于建模交替服务系统中的服务器等待时间。在准备时间分布的拉普拉斯变换为有理函数的充分条件下，推导出 $ W $ 的稳态分布的闭式表达式，通过广义Wiener-Hopf技术与压缩映射方法实现精确求解，确保稳定性。

ABSTRACT

In this paper we study the Lindley-type equation $W=\max\{0, B - A - W\}$. Its main characteristic is that it is a non-increasing monotone function in its main argument $W$. Our main goal is to derive a closed-form expression of the steady-state distribution of $W$. In general this is not possible, so we shall state a sufficient condition that allows us to do so. We also examine stability issues, derive the tail behaviour of $W$, and briefly discuss how one can iteratively solve this equation by using a contraction mapping.

研究动机与目标

• 推导非递增Lindley型方程中等待时间 $ W $ 的稳态分布的闭式表达式。
• 建立此类闭式解存在的条件，特别是当准备时间分布的拉普拉斯变换为有理函数时。
• 分析交替服务系统中等待时间分布的稳定性与尾部行为。
• 提供一种基于压缩映射的构造性方法，用于迭代求解，即使递归关系非单调。
• 通过允许一般准备时间分布（服务时间为指数分布）扩展现有关于旋转式与双旋转式系统的结果。

提出的方法

• 将系统建模为Lindley型递推关系 $ W_{n+1} = \max\{0, B_{n+1} - A_n - W_n\} $，其中 $ B_n $ 与 $ A_n $ 为独立同分布的非负随机变量。
• 应用广义Wiener-Hopf技术，通过将核 $ \overline{F}_B(x+y) $ 分解为具有有理拉普拉斯变换的分量来求解该方程。
• 假设准备时间分布的拉普拉斯变换为有理函数，从而推导出未知常数与初始概率 $ \pi_0 $ 的有限线性方程组。
• 采用压缩映射方法证明稳态分布的存在性与唯一性，并证明从任意初始状态出发均收敛。
• 通过求解所得方程组中的系数与 $ \pi_0 $，显式推导出稳态分布 $ F_W(x) $。
• 通过一个具体例子验证该方法：当 $ F_B $ 为具有有理拉普拉斯变换的非相型分布时，可得到 $ F_W(x) $ 的显式闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可以为非递增Lindley型方程 $ W_{n+1} = \max\{0, B_{n+1} - A_n - W_n\} $ 的稳态分布推导出闭式表达式？
• RQ2 该递推关系的非单调性如何影响稳态分布的存在性、唯一性与收敛性？
• RQ3 该系统中等待时间分布的尾部行为如何？与经典Lindley方程相比有何差异？
• RQ4 当准备时间分布的拉普拉斯变换为有理函数时，广义Wiener-Hopf方法能否被调整以求解此非递增递推关系？
• RQ5 即使分布非相型，如何以计算上可行的方式显式构造解？

主要发现

• 当准备时间分布的拉普拉斯变换为有理函数时，可推导出稳态等待时间分布 $ F_W(x) $ 的闭式表达式，从而在无需相型假设的前提下实现精确求解。
• 解通过包含 $ \pi_0 $ 与系数 $ c_1, \dots, c_5 $ 的线性方程组构造而成，该方程组源于核 $ \overline{F}_B(x+y) $ 的分解。
• 在具体例子中，当 $ \overline{F}_B(x+y) $ 涉及指数与三角函数项时，稳态分布显式表示为 $ F_W(x) = 1 - \frac{2\mu e^{-x}}{D(\mu)} \left( 5(720+744\mu+347\mu^2) + \dots \right) $，其中 $ D(\mu) = 10800+27000\mu+22353\mu^2+7940\mu^3 $。
• 尽管递推关系非递增，系统仍能从任意初始状态收敛至唯一的平衡分布，该结论通过压缩映射方法证明。
• 对 $ W $ 的尾部行为进行了分析，该方法能一致处理无界指数项与衰减积分。
• 该方法可数值实现，且即使对于非相型分布，也能得到精确结果而无需近似，如 $ \mu = 2 $ 时的例子所示。