[论文解读] A noncommutative Atiyah-Patodi-Singer index theorem in KK-theory

Alan L. Carey, Jessica Phillips+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文通过构建一个映射锥框架，将奇数与偶数指标配对通过APS边界条件联系起来，在KK理论中建立了阿蒂yah-Patodi-Singer指标定理的非交换类比。关键结果表明，对于局部有限、无源点、无汇点的有向图的图C*-代数，从映射锥代数到固定点代数的指标映射是一个同构，从而通过APS边界条件提供了完整的K-理论信息。

ABSTRACT

We investigate an extension of ideas of Atiyah-Patodi-Singer (APS) to a noncommutative geometry setting framed in terms of Kasparov modules. We use a mapping cone construction to relate odd index pairings to even index pairings with APS boundary conditions in the setting of KK-theory, generalising the commutative theory. We find that Cuntz-Kreiger systems provide a natural class of examples for our construction and the index pairings coming from APS boundary conditions yield complete K-theoretic information about certain graph C*-algebras.

研究动机与目标

• 通过Kasparov模将阿蒂yah-Patodi-Singer指标定理推广到非交换几何。
• 通过KK理论中的映射锥构造，将奇数指标配对与偶数指标配对通过APS边界条件联系起来。
• 证明Cuntz-Krieger系统提供了自然例子，其中APS指标配对能为图C*-代数提供完整的K-理论数据。
• 证明在一大类图C*-代数中，从映射锥代数到固定点代数的指标映射是一个同构。

提出的方法

• 使用映射锥构造在KK理论中关联奇数与偶数指标配对。
• 在带有APS边界条件的半无限圆柱体上的希尔伯特空间丛上定义Kasparov模。
• 将狄拉克型算子 $\hat{\mathcal{D}}$ 构造为包含 $\partial_t + \mathcal{D}$ 和 $-\partial_t + \mathcal{D}$ 的分块矩阵，并对 $\mathcal{D}$ 的核进行特殊处理。
• 利用Pimsner-Voiculescu正合序列与对偶规范作用分析图C*-代数的K-理论。
• 使用Kasparov积从 $K_0(M(F,A))$ 定义到 $K_0(F)$ 的指标映射，其中 $F$ 为固定点代数。
• 应用谱理论与参数解构造，证明预解式的自伴性与紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过KK理论将经典APS指标定理推广到非交换几何？
• RQ2 在非交换设定下，通过映射锥构造，奇数与偶数指标配对之间有何关系？
• RQ3 Cuntz-Krieger系统是否提供了自然例子，使得APS边界条件能产生图C*-代数的完整K-理论信息？
• RQ4 对于无源点或汇点的图C*-代数，从映射锥代数到固定点代数的指标映射是否为同构？

主要发现

• 对于局部有限、连通、无源点、无汇点的有向图，指标映射 $\mathrm{Index}_{\hat{\mathcal{D}}}: K_0(M(F,A)) \to K_0(F)$ 是一个同构。
• 通过APS Kasparov模的指标配对可完全恢复图C*-代数的 $K_0$-理论结构。
• 映射 $K_0(M(F,A)) \to K_0(F)$ 同构于 $K_0(F)$ 作为阿迪蒂加群，且当图C*-代数为Cuntz代数 $O_n$ 时，有 $K_0(M(F,A)) \cong (n-1)\mathbb{Z}[1/n]$。
• 投影 $[S_\mu S_{\overline{\mu}}^*]$ 的指标等于 $\sum_{j=0}^{|μ|-1} [S_{\overline{\mu}} S_{\overline{\mu}}^*] \sim \sum_{j=0}^{|μ|-1} n^{-(|μ|-j)}$，结果为 $\mathbb{Z}[1/n]$ 中的有理数。
• 一般情况下，评估映射 $ev_*$ 既非单射也非满射，但指标映射通过补偿作用实现了同构。
• 该构造表明在交换情形下有 $K_1(C(X)) \cong K_0(M(\mathbb{C}, C(X)))$，通过映射锥推广了悬停性质。