[论文解读] A note on a free group. The decomposition of a free group functor through the category of heaps

Bernard Rybołowicz|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Geometric and Algebraic Topology被引用 2

一句话总结

本文引入了将群映射到其对应的堆的函子的左伴随函子，证明自由群函子可通过堆的范畴分解。通过在堆的范畴中构造一个余积——具体而言，即一个集合 X 上的自由堆与一个单元素堆的余积——该余积在单元素元素处的收缩（retract）给出了一个自由群，从而为标准的集合论构造自由群提供了一种代数重解释。

ABSTRACT

This note aims to introduce a left adjoint functor to the functor which assigns a heap to a group. The adjunction is monadic. It is explained how one can decompose a free group functor through the previously introduced adjoint and employ it to describe a slightly different construction of free groups.

研究动机与目标

• 为将群映射到其对应堆的函子构造一个左伴随函子。
• 通过代数方法重新解释标准的集合论构造自由群的方式，该方式传统上通过不相交并集扩展生成集以引入逆元和单位元。
• 证明自由群函子作为通过堆范畴的函子复合而产生。
• 阐明单位元和逆元如何通过堆范畴中的收缩与余积自然地产生。

提出的方法

• 定义一个函子 $\mathbf{Gr} : \mathbf{Heap} \to \mathbf{Grp}$，将每个堆 $H$ 映射到群 $\mathrm{Gr}_*(H) := G(H \sqcup \{\ast\}; \ast)$，即 $H$ 与一个单元素堆的余积在 $\ast$ 处的 $\ast$-收缩。
• 利用堆范畴中余积的普遍性质，定义 $\mathrm{Grp}(\mathbf{Gr}(H), G)$ 与 $\mathbf{Heap}(H, H(G))$ 之间的自然同构。
• 利用遗忘函子 $U_{\mathbf{Heap}}$ 有左伴随函子 $H : \mathbf{Set} \to \mathbf{Heap}$（即自由堆函子）的事实，将 $\mathbf{Gr} \circ H$ 组合起来。
• 通过伴随的普遍性质，证明 $\mathbf{Gr} \circ H$ 与标准自由群函子 $G : \mathbf{Set} \to \mathbf{Grp}$ 自然同构。
• 利用在堆范畴中 $H(X \sqcup \{\ast\}) \cong H(X) \sqcup H(\{\ast\})$ 的事实，因为 $H$ 保持余积。
• 将集合 $X$ 上的自由群构造为 $X \sqcup \{\ast\}$ 上的自由堆在 $\ast$ 处的 $\ast$-收缩，其中逆元通过 $[\ast, w, \ast]$ 的形式实现，$w$ 属于 $X \sqcup \{\ast\}$ 上的自由堆。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为将群映射到堆的函子 $H: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Heap}$ 构造一个左伴随函子？
• RQ2 如何利用堆来代数地重新解释标准的自由群构造？
• RQ3 自由群函子是否可分解为通过堆范畴的函子复合？
• RQ4 在堆的余积与收缩的语境下，单位元和逆元的代数意义是什么？

主要发现

• 函子 $\mathbf{Gr} : \mathbf{Heap} \to \mathbf{Grp}$，定义为 $\mathbf{Gr}(H) = G(H \sqcup \{\ast\}; \ast)$，是函子 $H: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Heap}$ 的左伴随。
• 伴随 $\mathbf{Gr} \dashv H$ 是单子的（monadic），因为 $H$ 反射同构，并保持 $H$-分裂平行对的余等化子。
• $\mathbf{Gr} \circ H : \mathbf{Set} \to \mathbf{Grp}$ 与标准自由群函子 $G$ 同构，从而确立了自由群函子可通过堆的范畴分解。
• 对任意集合 $X$，$X$ 上的自由群同构于 $\mathbf{Heap}$ 中 $H(X) \sqcup \{\ast\}$ 在 $\ast$ 处的 $\ast$-收缩，即 $G(X) \cong \mathbf{Gr}(H(X))$。
• 在此构造中，单位元对应于单元素堆 $\{\ast\}$，而逆元自然地通过 $[\ast, w, \ast]$ 的形式出现，其中 $w$ 属于 $X \sqcup \{\ast\}$ 上的自由堆。
• 该构造通过堆范畴中余积与收缩的普遍性质，为标准集合论中通过添加逆元和单位元扩展生成集的方式提供了纯粹的代数解释。