[论文解读] A Note on Cut-Approximators and Approximating Undirected Max Flows.

Richard Peng|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文建立了构造割近似分层树分解与在无向图中近似最大流问题之间的紧密算法联系。通过利用这一关系，本文首次提出了时间复杂度为 O(m polylog(n)) 的算法，同时解决这两个问题，显著提升了流计算与图分解领域的技术水平。

ABSTRACT

We show a closer algorithmic connection between constructing cut-approximating hierarchical tree decompositions and computing approximate maximum flows in undirected graphs. This leads to the first O(m polylog(n)) time algorithms for both problems.

研究动机与目标

• 弥合割近似分层树分解与无向图中近似最大流计算之间的差距。
• 通过利用两者之间的算法依赖关系，开发更快的算法解决这两个问题。
• 实现近乎线性时间复杂度，具体为 O(m polylog(n))，用于割近似树的构建与近似最大流的计算。
• 证明同一算法框架可高效同时解决这两个基础图问题。

提出的方法

• 作者识别出割近似树与无向图中近似最大流之间存在结构等价性。
• 他们设计了一种新颖的算法，通过共享数据结构，同时计算割近似树与近似最大流。
• 该方法依赖于递归分解与稀疏化技术，以在分层结构的各层级上保持近似割值。
• 通过在树分解上采用类似参数搜索的方法，高效地优化流的近似值。
• 该算法通过维护动态图稀疏化器并利用低拉伸生成树的性质，在近乎线性时间内运行。
• 其核心创新在于复用同一计算框架解决两个问题，从而减少冗余计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 割近似分层树分解是否可在近乎线性时间内构造？
• RQ2 割近似树与无向图中近似最大流之间是否存在根本性的算法联系？
• RQ3 是否可通过单一算法实现两个问题的近乎线性时间性能？
• RQ4 无向图的何种结构特性使得此类高效近似成为可能？

主要发现

• 本文首次提出时间复杂度为 O(m polylog(n)) 的割近似分层树分解构造算法。
• 该算法在无向图中计算近似最大流时也达到相同的复杂度。
• 两个问题之间的算法联系使得计算原语得以共享，从而降低整体复杂度。
• 结果表明，两个问题均可在近乎线性时间内求解，优于以往的复杂度界限。