[论文解读] A note on directly Riemann integrable functions

Francesco Caravenna|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文证明，对于任意满足温和矩条件和 $ L^p $-有界性的 Lebesgue 可积函数 $ f $，其某个 $ k $-重卷积 $ f^{*k} $ 会成为直接 Riemann 可积（d.R.i.）。关键结果表明，当 $ k $ 足够大时，$ (1+|x|^{ε})f^{*k}(x) $ 有界、连续且为 d.R.i.，从而使其在更新理论和局部极限定理中具有应用价值。

ABSTRACT

A non-negative function f, defined on the real line or on a half-line, is said to be directly Riemann integrable (d.R.i.) if the upper and lower Riemann sums of f over the whole (unbounded) domain converge to the same finite limit, as the mesh of the partition vanishes. In this note we show that, for a Lebesgue-integrable function f, very mild conditions are enough to ensure that some n-fold convolution of f with itself is d.R.i.. Applications to renewal theory and to local limit theorems are discussed.

研究动机与目标

• 确定重复卷积使 $ L^1 $ 函数成为直接 Riemann 可积的最小条件。
• 弥合一般 $ L^1 $ 函数与直接 Riemann 可积函数类之间的差距，后者在更新理论和局部极限定理中至关重要。
• 提供一个实用准则，确保当 $ k $ 足够大时 $ f^{*k} $ 为 d.R.i.，即使 $ f $ 本身并非 d.R.i.。
• 证明 $ L^p $-有界性与某些卷积的有限 $ \varepsilon $-矩条件相结合，可确保高阶卷积具有 d.R.i. 性质。
• 为在重尾和非格点更新过程的背景下应用 d.R.i. 技术提供理论基础。

提出的方法

• 通过无界划分上、下 Riemann 和的收敛性来定义直接 Riemann 可积性。
• 应用 Hölder 不等式与迭代卷积估计，证明 $ f_{2^k} \in L^1 \cap L^{p^{2^k}} $，并利用傅里叶变换性质得出 $ \widehat{f} \in L^{2^{k+1}} $。
• 对上 Riemann 和 $ S^{g_k}_1(0) $（其中 $ g_k(x) = (1+|x|^\varepsilon)|f_k(x)| $）采用自举论证，证明有界性可沿卷积传播。
• 依赖不等式 $ (a+b)^\varepsilon \leq 2^\varepsilon(a^\varepsilon + b^\varepsilon) $ 控制卷积估计中的增长。
• 利用关系式 $ S^g_\delta(x) \leq (1 + 2\delta/\delta') S^g_{\delta'}(x') $ 比较不同网格大小下的 Riemann 和。
• 证明当 $ k $ 足够大时，$ f_k $ 有界且连续，且在给定假设下 $ (1+|x|^\varepsilon)f_k(x) $ 为 d.R.i.。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ L^1 $ 函数 $ f $ 的某个卷积 $ f^{*k} $ 成为直接 Riemann 可积？
• RQ2 矩条件 $ \int |x|^\varepsilon |f(x)| dx < \infty $ 与 $ f^{*k_0} $ 的 $ L^p $-有界性如何相互作用以确保 d.R.i. 性质？
• RQ3 即使 $ f $ 本身不是 d.R.i.，d.R.i. 性质是否仍可通过卷积继承？
• RQ4 在更新过程与局部极限定理的背景下，使函数成为 d.R.i. 所需的最小正则性是什么？
• RQ5 傅里叶变换如何用于刻画卷积的 $ L^p $-有界性，而这是主结果中的关键假设？

主要发现

• 对于任意满足 $ f^{*k_0} \in L^\infty $ 且 $ \int |x|^\varepsilon |f(x)| dx < \infty $（对某个 $ \varepsilon > 0 $）的 $ f \in L^1(\mathbb{R}) $，存在 $ k_1 \in \mathbb{N} $，使得对所有 $ k \geq k_1 $，$ f^{*k} $ 有界、连续且为直接 Riemann 可积。
• 对所有 $ k \geq k_1 $，函数 $ x \mapsto (1+|x|^\varepsilon)f_k(x) $ 有界且连续，从而保证可积性与正则性。
• 当网格大小 $ \delta \to 0 $ 时，$ f_k $ 的上 Riemann 和与下 Riemann 和收敛到同一有限极限，满足 $ k \geq k_1 $ 时 d.R.i. 的定义。
• $ f \in L^1 \cap L^p $（$ p > 1 $）意味着 $ f^{*k_0} \in L^\infty $，因此 $ L^p $-有界性假设在大多数情况下可实际验证。
• 即使 $ f $ 本身不是 d.R.i.，该结果依然成立，如反例 $ f(x) = \frac{1}{x(\log x)^2} \mathbf{1}_{[e,\infty)}(x) $ 所示：该函数属于 $ L^1 $，但不满足矩条件。
• 证明通过在上 Riemann 和 $ S^{g_k}_1(0) $ 上采用自举论证，表明在某一点 $ k $ 有界性可推出对所有更大的 $ k $ 也有界性，依据线性递推不等式。