[论文解读] A note on embeddings of 3-manifolds in symplectic 4-manifolds

Anubhav Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文证明了每个紧致、定向的3-流形均可拓扑嵌入一个单连通、紧致的辛4-流形中，且在一次稳定化后可光滑嵌入。此外，本文证明了整数与有理数同调cobordism群由Stein填充的3-流形生成，并利用辛拓扑与接触几何识别了新的光滑嵌入障碍。

ABSTRACT

We show that any closed oriented 3-manifold can be topologically embedded in some simply-connected closed symplectic 4-manifold, and that it can be made a smooth embedding after one stabilization. As a corollary of the proof we show that the homology cobordism group is generated by Stein fillable 3-manifolds. We also find obstructions on smooth embeddings: there exists 3-manifolds which cannot smoothly embed in a way that appropriately respect orientations in any symplectic manifold with weakly convex boundary. This embedding obstruction can also be used to detect exotic smooth structures on 4-manifolds.

研究动机与目标

• 通过证明其在稳定化后成立，解决关于每个紧致、定向3-流形均可光滑嵌入辛4-流形的猜想。
• 证明同调cobordism群Θ³_ℤ与Θ³_ℚ由Stein填充的3-流形生成。
• 利用辛拓扑与接触几何，识别3-流形在具有弱凸边界之辛4-流形中光滑嵌入的新障碍。
• 探讨辛嵌入、L-空间与定号4-流形之间的联系，特别是通过Heegaard Floer同调的约束。

提出的方法

• 使用处理体分解与有理同调cobordism技巧，构造任意紧致、定向3-流形Y到单连通辛4-流形X的拓扑局部平坦嵌入。
• 应用稳定化过程（与S²×S²的连通和）将拓扑嵌入转化为光滑嵌入。
• 利用Kirby演算与处理交换（cork twists）调整接触框架，使所得4-流形实现Stein填充性。
• 利用cork twists保持同胚类型但改变光滑结构的性质，从而构造具有所需边界性质的Stein 4-流形。
• 利用同调长正合列与最小2-处理集，确保有理纹路cobordism并控制同调群。
• 应用Freedman关于拓扑4-流形分类的结果，确保cork twists可延拓为同胚，从而保持4-流形的拓扑类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个紧致、定向的3-流形是否可拓扑嵌入一个单连通、紧致的辛4-流形中？
• RQ2 每个3-流形是否在一次稳定化（与S²×S²的连通和）后均可光滑嵌入辛4-流形中？
• RQ3 整数与有理数同调cobordism群Θ³_ℤ与Θ³_ℚ是否由Stein填充的3-流形生成？
• RQ4 3-流形在辛4-流形中的光滑嵌入是否可被辛或接触几何约束所阻碍？
• RQ5 某些L-空间无法嵌入辛4-流形的事实是否意味着并非所有3-流形都可光滑嵌入辛4-流形中？

主要发现

• 每个紧致、定向的3-流形均可嵌入一个单连通、紧致的辛4-流形中，且为拓扑局部平坦嵌入。
• 在一次稳定化（与S²×S²的连通和）后，每个紧致、定向的3-流形均可光滑嵌入辛4-流形中。
• 同调cobordism群Θ³_ℤ与Θ³_ℚ由Stein填充的3-流形生成。
• L-空间不能作为紧致辛4-流形中非分离超曲面光滑嵌入；它们必须是分离的，且其中一侧必须为负定。
• 存在某些3-流形无法光滑嵌入任何具有弱凸边界的辛4-流形中，从而提供了新的光滑嵌入障碍。
• 这些障碍可用于检测4-流形上的奇异光滑结构，将辛拓扑与光滑4-流形不变量联系起来。