[论文解读] Filtered instanton Floer homology and the homology cobordism group

Yuta Nozaki, Kouki Sato+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文引入了一类新的实值同调三球的同痕不变量 $ r_s(Y) $，其来源于过滤的瞬子弗洛尔同调与 $ \mathrm{SU}(2) $-陈-西蒙斯泛函。这些不变量满足负定同痕不等式与连通和公式，从而得出新结果：存在无穷多个同调三球不以任何定号四曼ifold为边界，且某些沿纽结的 $ 1/n $-手术在同调同痕群中线性无关。本文通过数值计算 $ \mathrm{SU}(2) $-表示的陈-西蒙斯值，计算出对 $ 5_2 $ 的镜像进行 $ 1/2 $-手术得到的双曲三流形的 $ r_s \approx 0.00176489 $，验证了这些不变量的可计算性与拓扑敏感性。

ABSTRACT

For any $s \in [-\infty, 0] $ and oriented homology 3-sphere $Y$, we introduce a homology cobordism invariant $r_s(Y)\in (0,\infty]$. The values $\{r_s(Y)\}$ are included in the critical values of the $SU(2)$-Chern-Simons functional of $Y$, and we show a negative definite cobordism inequality and a connected sum formula for $r_s$. As applications, we obtain several new results on the homology cobordism group. First, we give infinitely many homology 3-spheres which cannot bound any definite 4-manifold. Next, we show that if the 1-surgery of $S^3$ along a knot has the Frøyshov invariant negative, then all positive $1/n$-surgeries along the knot are linearly independent in the homology cobordism group. In another direction, we use $\{r_s\}$ to define a filtration on the homology cobordism group which is parametrized by $[0,\infty]$. Moreover, we compute an approximate value of $r_s$ for the hyperbolic 3-manifold obtained by $1/2$-surgery along the mirror of the knot $5_2$.

研究动机与目标

• 通过过滤瞬子弗洛尔同调，为定向同调三球定义一类新的同调同痕不变量 $ r_s(Y) $。
• 建立 $ r_s $ 的拓扑应用，包括对边界为定号四曼ifold的障碍，以及在同调同痕群中的线性无关性。
• 通过数值计算 $ \mathrm{SU}(2) $-表示的陈-西蒙斯值，计算双曲三流形的 $ r_s $。
• 在同调同痕群上定义一个以 $ [0,\infty] $ 为参数的滤子结构，丰富其代数结构。

提出的方法

• 将 $ r_s(Y) $ 定义为满足 $ r \in (0,\infty] $ 的上确界，使得在过滤瞬子弗洛尔同调群 $ I^1_{[s,r]}(Y) $ 中，障碍类 $[\theta]$ 消去，其中 $ s \in [-\infty,0] $。
• 利用 $ \mathrm{SU}(2) $-陈-西蒙斯泛函的扰动，构建过滤瞬子弗洛尔同调框架 $ I^1_{[s,r]}(Y) $。
• 证明负定同痕不等式：若 $ W $ 是从 $ Y_1 $ 到 $ Y_2 $ 的负定同痕，则 $ r_s(Y_2) \leq r_s(Y_1) $。
• 通过过滤弗洛尔同调在连通和下的性质，建立连通和公式：$ r_s(Y_1 \# Y_2) = \min\{ r_s(Y_1), r_s(Y_2) \} $。
• 通过在 8 个候选 $ \mathrm{SU}(2) $-表示上数值计算陈-西蒙斯泛函，计算出 $ S^3_{1/2}(5_2^*) $ 的 $ r_s $，并识别出最小值作为不变量。
• 利用 Casson 不变量与 Mayer-Vietoris 序列，验证存在 8 个真正的非交换 $ \mathrm{SU}(2) $-表示，确保计算的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用过滤瞬子弗洛尔同调为同调三球定义新的实值不变量，以检测不以定号四曼ifold为边界的三球？
• RQ2 $ r_s $ 不变量是否满足负定同痕不等式与连通和公式？其对同调同痕群结构有何影响？
• RQ3 能否计算双曲三流形的 $ r_s $？其是否能检测同调同痕群中的非平凡性？
• RQ4 是否存在由 $ r_s $ 导出的同调同痕群 $ \Theta^3_\mathbb{Z} $ 上的滤子结构？其如何丰富现有结构？
• RQ5 若某纽结的 $ 1 $-手术的 Frøyshov 不变量为负，则其所有正的 $ 1/n $-手术是否在 $ \Theta^3_\mathbb{Z} $ 中保持线性无关？

主要发现

• $ r_s(Y) $ 是任意 $ s \in [-\infty,0] $ 下的同调同痕不变量，取值于 $ (0,\infty] $，且在连通和下稳定：$ r_s(Y_1 \# Y_2) = \min\{ r_s(Y_1), r_s(Y_2) \} $。
• 通过同痕约束下 $ r_s $ 的非零性，构造出一个无穷多个不以任何定号四曼ifold为边界的同调三球族。
• 若 $ S^3_1(K) $ 的 Frøyshov 不变量为负，则所有正的 $ 1/n $-手术沿 $ K $ 在 $ \Theta^3_\mathbb{Z} $ 中线性无关，此结果通过基于 $ r_s $ 的障碍得到证明。
• 对双曲三流形 $ S^3_{1/2}(5_2^*) $，计算得不变量 $ r_s \approx 0.00176489047864885113073962589709477793304925308209 $，并进行了高精度验证。
• $ r_s $-不变量在 $ \Theta^3_\mathbb{Z} $ 上定义了一个以 $ [0,\infty] $ 为参数的滤子结构，为该群提供了新的代数结构。
• 本文确认了 $ \pi_1(S^3_{1/2}(5_2^*)) $ 存在 8 个非交换 $ \mathrm{SU}(2) $-表示，支持了 $ r_s $ 的数值计算。