[论文解读] A note on quantum algorithms and the minimal degree of epsilon-error polynomials for symmetric functions

Ronald de Wolf|ArXiv.org|Feb 13, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文通过利用量子算法，对对称布尔函数的 ε-误差多项式最小次数提供了更紧致的刻画。证明了 degε(f) = Θ(deg₁/₃(f) + √(n log(1/ε)))，且不包含隐藏的对数因子，使用基于量子查询的构造方法，通过 Grover 算法和对称化技术实现最优逼近。

ABSTRACT

The degrees of polynomials representing or approximating Boolean functions are a prominent tool in various branches of complexity theory. Sherstov recently characterized the minimal degree deg_{\eps}(f) among all polynomials (over the reals) that approximate a symmetric function f:{0,1}^n-->{0,1} up to worst-case error \eps: deg_{\eps}(f) = ~Θ(deg_{1/3}(f) + \sqrt{n\log(1/\eps)}). In this note we show how a tighter version (without the log-factors hidden in the ~Θ-notation), can be derived quite easily using the close connection between polynomials and quantum algorithms.

研究动机与目标

• 通过消除隐藏的对数因子，改进 Sherstov [She08a] 对对称函数 ε-误差多项式次数的 Ω̃(deg₁/₃(f) + √(n log(1/ε))) 下界。
• 为所有 ε ∈ [2⁻ⁿ, 1/3] 和非恒定对称 f 建立 degε(f) 的紧致 Θ-界。
• 证明量子查询算法可用于构造对称函数的最优多项式逼近。
• 将结果扩展到非对称函数，即在输入汉明权重属于 {t, ..., n−t} 时为常数的函数，证明 degε(f) = O(√(tn) + √(n log(1/ε)))。

提出的方法

• 利用已知的量子查询算法与多重线性多项式之间的对应关系：T 次查询的量子算法可计算次数至多为 2T 的多项式。
• 通过重复使用 Grover 搜索构造一个四步量子算法，用于估计汉明权重，并检测 |x| < t、|x| ∈ {t, ..., n−t} 或 |x| > n−t 的情况。
• 对 1 的情况使用精确 Grover 搜索（O(√(tn)) 次查询）来寻找最多 t 个解（1），当 |x| ≤ t 时；对 ε/2 误差的 Grover 搜索（O(√(n log(1/ε))) 次查询）来检测额外的解。
• 对 0 的情况应用相同逻辑，以判断 |x| > n−t，从而在极端情况下完全掌握 x 的信息。
• 使用对称化技术，将 n 元多重线性多项式的分析简化为关于汉明权重的单变量多项式分析。
• 将 Paturi 对 deg₁/₃(f) = Θ(√(tn)) 的紧致界与已知的 OR 函数精确次数 degε(ORₙ) = Θ(√(n log(1/ε))) 结合使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sherstov 的 Ω̃(deg₁/₃(f) + √(n log(1/ε))) 下界中的隐藏对数因子能否被消除，从而得到紧致的 Θ-界？
• RQ2 量子查询算法在多大程度上可用于构造对称函数的最优多项式逼近？
• RQ3 degε(f) = Θ(deg₁/₃(f) + √(n log(1/ε))) 的次数界是否可扩展至在中心汉明权重区间上为常数的非对称函数？
• RQ4 当 ε 为亚指数小时，对称函数的 ε-误差多项式逼近的最小次数是多少？
• RQ5 函数的结构（例如在 {t, ..., n−t} 上为常数）如何影响 ε-逼近多项式的最小次数？

主要发现

• 本文建立了紧致的 Θ-界：对所有非恒定对称 f 和 ε ∈ [2⁻ⁿ, 1/3]，有 degε(f) = Θ(deg₁/₃(f) + √(n log(1/ε)))，消除了先前工作中存在的隐藏对数因子。
• 上界通过使用 O(√(tn) + √(n log(1/ε))) 次查询的量子算法实现，其中 t 是满足 f 在汉明权重属于 {t, ..., n−t} 的输入上为常数的最小值。
• 该算法通过在 1 和 0 上组合使用精确和 ε/2 误差的 Grover 搜索，将 f 的计算误差概率控制在 ε 以内，从而在 |x| < t 或 |x| > n−t 时完全掌握 x 的信息。
• 下界通过在 t < n/4 时将 OR 函数嵌入 f 得到，利用已知的精确次数 degε(ORₙ) = Θ(√(n log(1/ε)))。
• 该结果可扩展至在 {t, ..., n−t} 上为常数的非对称函数，此类函数满足 degε(f) = O(√(tn) + √(n log(1/ε)))。
• 该构造提供了一种显式方法，通过量子算法构建 ε-逼近多项式，与 Sherstov 使用切比雪夫多项式的方法形成对比。