[论文解读] Bounds for Small-Error and Zero-Error Quantum Algorithms

Harry Buhrman, Richard Cleve+2 more|ArXiv.org|Apr 26, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用 32

一句话总结

本文为小误差和零误差的量子搜索算法建立了紧致的界限，表明在实现高精度结果时，量子放大无法超越经典方法。研究证明了单调函数和图性质在查询复杂度上的多项式量子-经典分离，表明对量子计算机而言，可查询性猜想不成立，关键结果包括：星形性质的量子零误差复杂度为 $\Omega(n^{3/2})$，而‘至少存在一条边’性质的有界误差复杂度为 $O(n)$。

ABSTRACT

We present a number of results related to quantum algorithms with small error probability and quantum algorithms that are zero-error. First, we give a tight analysis of the trade-offs between the number of queries of quantum search algorithms, their error probability, the size of the search space, and the number of solutions in this space. Using this, we deduce new lower and upper bounds for quantum versions of amplification problems. Next, we establish nearly optimal quantum-classical separations for the query complexity of monotone functions in the zero-error model (where our quantum zero-error model is defined so as to be robust when the quantum gates are noisy). Also, we present a communication complexity problem related to a total function for which there is a quantum-classical communication complexity gap in the zero-error model. Finally, we prove separations for monotone graph properties in the zero-error and other error models which imply that the evasiveness conjecture for such properties does not hold for quantum computers.

研究动机与目标

• 分析量子搜索算法中查询次数、误差概率、搜索空间大小和解的数量之间的权衡。
• 确定量子算法是否能比经典方法更高效地放大小误差概率算法。
• 研究单调函数和图性质的零误差量子查询复杂度，并评估可查询性猜想在量子环境下的有效性。
• 在零误差和有界误差模型下，为单调函数和图性质建立经典与量子查询复杂度之间的分离。

提出的方法

• 使用多项式方法并借鉴先前工作的改进，证明量子放大的下界。
• 应用Grover算法和精确量子搜索技术，为将$(0,q)$-算法放大至$(0,1-\varepsilon)$-精度构造上界。
• 定义一种对噪声量子门具有鲁棒性的零误差量子模型，保持稳定性。
• 利用决策树和多项式次数技术分析单调图性质，特别是利用表示布尔函数的多重线性多项式的次数。
• 为诸如‘包含一个星形’和‘至少存在一条边’等性质构造显式量子算法，以展示复杂度差距。
• 将量子查询算法转化为多重线性多项式，推导出查询复杂度的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否比经典方法更高效地将$(0,q)$-算法放大至$(0,1-\varepsilon)$-精度？
• RQ2 在单调函数上，零误差量子算法所需的最优查询次数是多少？与经典对应方法相比如何？
• RQ3 可查询性猜想——即所有单调图性质都需查询所有输入——在量子环境中是否成立？
• RQ4 能否使用多项式次数下界来证明图性质的零误差量子查询复杂度的强下界？
• RQ5 ‘包含一个星形’和‘至少存在一条边’图性质的量子查询复杂度的紧致界限是什么？

主要发现

• 将$(0,q)$-算法放大至$(0,1-\varepsilon)$-精度所需的查询次数为$\Theta\left(\sqrt{N}\left(\sqrt{\log(1/\varepsilon)+qN}-\sqrt{qN}\right)\right)$，表明高精度放大的情况下不存在量子优势。
• 当$q = 1/2$时，将误差放大至$\varepsilon$需要$\Theta(\log(1/\varepsilon))$次查询，与经典性能一致，排除了该情形下的量子加速。
• 存在一个单调图性质（星形性质），其$Q_0(P) \in O(n^{3/2})$，而经典零误差复杂度为$\Omega(n^2)$，证明了多项式量子-经典差距。
• 对于$n(n-1)$个变量上的‘多数’函数，$Q_E(f) \leq n(n-1) - e(n(n-1)) + 1 < n(n-1)$，表明精确量子查询复杂度可严格小于变量数量。
• 可查询性猜想在量子计算机上不成立：存在单调图性质满足$Q_E(P) < n(n-1)$，且对某些$P$有$Q_0(P) \in O(n^{3/2})$，与经典可查询性相矛盾。
• 对于有界误差量子算法，‘至少存在一条边’性质的$Q_2(P) \in O(n)$，而$D(P) \in \Omega(n^2)$，确立了二次方的量子-经典差距。