[论文解读] A Note on Self-Dual Generalized Reed-Solomon Codes

Weijun Fang, Jun Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文通过基于有限域中乘法子群及其陪集的求值集，构造自偶GRS码，提出了四类新的MDS自偶广义Reed-Solomon（GRS）码。该文引入了一种系统方法，利用Möbius变换（PGL₂作用）从已知自偶GRS码生成新的自偶GRS码，并证明了在 $ \mathbb{F}_q $ 上长度 $ n < q+1 $ 的所有自偶扩展GRS码均可从不含无穷远点的标准GRS码导出。

ABSTRACT

A linear code is called an MDS self-dual code if it is both an MDS code and a self-dual code with respect to the Euclidean inner product. The parameters of such codes are completely determined by the code length. In this paper, we consider new constructions of MDS self-dual codes via generalized Reed-Solomon (GRS) codes and their extended codes. The critical idea of our constructions is to choose suitable evaluation points such that the corresponding (extended) GRS codes are self-dual. The evaluation set of our constructions is consists of a subgroup of finite fields and its cosets in a bigger subgroup. Four new families of MDS self-dual codes are obtained and they have better parameters than previous results in certain region. Moreover, by the Mobius action over finite fields, we give a systematic way to construct self-dual GRS codes with different evaluation points provided any known self-dual GRS codes. Specially, we prove that all the self-dual extended GRS codes over $\mathbb{F}_{q}$ with length $n&lt; q+1$ can be constructed from GRS codes with the same parameters.

研究动机与目标

• 构建新的MDS自偶码族，其参数超越现有文献范围。
• 开发一种系统方法，利用射影线性群PGL₂(𝔽_q)的自同构生成自偶GRS码。
• 证明在 $ \mathbb{F}_q $ 上长度 $ n < q+1 $ 的自偶扩展GRS码可从不含无穷远点的标准GRS码构造而成。
• 探讨有限域中乘法子群及其陪集作为自偶GRS码求值集的作用。

提出的方法

• 通过在 $ \mathbb{F}_q^* $ 中选取乘法子群及其陪集的并集作为求值集，构造自偶GRS码。
• 利用PGL₂(𝔽_q)对求值点的作用，通过Möbius变换从已知自偶GRS码生成新的自偶GRS码。
• 利用GRS码在PGL₂(𝔽_q)作用下的自同构性质，使用变换公式 $ g_k G_k = G_k \Pi(g) \Delta_k(g) $。
• 将变换后生成矩阵限制在对应新求值集的列子集上，推导出新的缩放向量。
• 证明任何长度 $ n < q+1 $ 的自偶扩展GRS码均可通过选择适当的Möbius变换将无穷远点移出求值集，从而从标准GRS码导出。
• 利用Möbius变换 $ g = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ 将 $ \infty $ 映射为有限元素，实现从求值集中移除无穷远点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于有限域中乘法子群及其陪集的结构化求值集构造新的MDS自偶GRS码族？
• RQ2 如何系统地利用PGL₂(𝔽_q)作用从已知自偶GRS码生成新的自偶GRS码？
• RQ3 是否可能在保持自偶性的同时，从自偶扩展GRS码的求值集中移除无穷远点？
• RQ4 GRS码在 $ \mathbb{F}_q $ 上自偶的求值集所需满足的充要条件是什么？
• RQ5 所有长度 $ n < q+1 $ 的自偶扩展GRS码是否均可通过Möbius变换从标准GRS码构造而成？

主要发现

• 构造了四类新的MDS自偶码族，其参数在某些区域未被先前结果覆盖。
• Möbius作用为从任意已知自偶GRS码系统生成新的自偶GRS码提供了有效途径。
• 证明了在 $ \mathbb{F}_q $ 上长度 $ n < q+1 $ 的所有自偶扩展GRS码均可从不含无穷远点的标准GRS码构造而成。
• 基于子群及其陪集的求值集构造方法，可生成具有改进参数覆盖范围的MDS自偶码。
• 对于任意长度 $ n < q+1 $ 的自偶扩展GRS码，均存在一个对应的仅在 $ \mathbb{F}_q $ 上的自偶GRS码（不含无穷远点），通过适当的Möbius变换实现。
• 该方法确保新求值集在群作用下保持封闭，并通过适当的缩放向量调整保持自偶性。