[论文解读] On the Constructions of MDS Self-dual Codes via Cyclotomy

Aixian Zhang, Keqin Feng|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在有限域上构造MDS自偶码的新方法，利用广义Reed-Solomon（GRS）码和扩展GRS码，其中求值集为域乘法群的分圆类的并集。通过将自偶性条件用分圆数表示，作者推导出一系列此前未知长度的MDS自偶码，尤其针对奇素数幂及各种分圆阶数的情形。

ABSTRACT

MDS self-dual codes over finite fields have attracted a lot of attention in recent years by their theoretical interests in coding theory and applications in cryptography and combinatorics. In this paper we present a series of MDS self-dual codes with new length by using generalized Reed-Solomon codes and extended generalized Reed-Solomon codes as the candidates of MDS codes and taking their evaluation sets as an union of cyclotomic classes. The conditions on such MDS codes being self-dual are expressed in terms of cyclotomic numbers.

研究动机与目标

• 在有限域上构造此前未知长度的新MDS自偶码。
• 通过采用分圆类的并集，推广先前使用子群或子空间作为求值集的构造方法。
• 利用分圆数理论，建立GRS和EGRS码生成的MDS码为自偶的充要条件。
• 将分圆数理论在MDS自偶码构造中的适用范围，从半初等情形扩展至更一般情况。
• 为各种分圆阶数（特别是e = 4和e = 2）提供显式MDS自偶码族。

提出的方法

• 该构造使用广义Reed-Solomon（GRS）码和扩展GRS（EGRS）码作为MDS码候选。
• 求值集S被选为域F_q^*中子群D = ⟨θ^e⟩的陪集并集，其中F_q^* = ⟨θ⟩。
• 自偶性由分圆数的条件决定，特别是选定指标集I上（奇，I−i）和的奇偶性。
• 该方法利用了关于e = 2和e = 4的分圆数的已知结果，尤其是其奇偶性与代数结构。
• 作者应用定理3.3，将分圆数奇偶性的条件转化为自偶码存在的判别准则。
• 针对e = 2和e = 4进行了具体构造，基于q模4、8和16的取值进行详细分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有限域F_q及分圆类的并集，可通过GRS和EGRS码构造出MDS自偶码？
• RQ2 此类MDS码为自偶的分圆数的必要与充分条件是什么？
• RQ3 所构造的MDS自偶码（长度、域大小）的参数如何依赖于分圆阶数e及指标集I的结构？
• RQ4 该构造能否产生文献中此前未知的新码长？
• RQ5 二次特征及分解q = s² + 4t²在确定此类码的存在性中起什么作用？

主要发现

• 当e = 2时，若q ≡ 1 (mod 4)，则2f + 2 ∈ Σ(eg, q)；若q ≡ 1 (mod 8)，则f + 2 ∈ Σ(eg, q)。
• 若q ≡ 3 (mod 4)，则2f + 2 ∈ Σ(eg, q)；若q ≡ 7 (mod 8)，则f + 1 ∈ Σ(eg, q) ∩ Σ(g, q)。
• 当e = 4且p ≡ 1 (mod 4)时，若2 | f（即q ≡ 1 (mod 8)），则f, 2f ∈ Σ(g, q)，且f + 2, 2f + 2, 4f + 2 ∈ Σ(eg, q)。
• 当q ≡ 1 (mod 16)且4 | t，或q ≡ 9 (mod 16)且t ≡ 2 (mod 4)时，有3f ∈ Σ(g, q)且3f + 2 ∈ Σ(eg, q)。
• 当p ≡ 3 (mod 4)时，若p ≡ 7 (mod 8)或p ≡ 3 (mod 8)且2 | m，则f, 2f ∈ Σ(g, q)，且对1 ≤ l ≤ 4，有fl + 2 ∈ Σ(eg, q)。
• 在半初等情形下，当p ≡ 3 (mod 8)且2 ∤ m时，有fl ∈ Σ(g, q)（1 ≤ l ≤ 3），且fl + 2 ∈ Σ(eg, q)（l = 1, 2, 4）。