[论文解读] A note on the convex infimum convolution inequality

Naomi Feldheim, Arnaud Marsiglietti+2 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2015

Functional Equations Stability Results参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文表征了满足 Maurey 一维凸下确界卷积不等式之对称测度，表明此类测度在乘积测度下对凸集与Lipschitz函数产生两层Talagrand型集中性。关键结果表明，凸性质(τ)的张量化导致混合范数下具有高斯与指数尾部的强集中性。

ABSTRACT

We characterize the symmetric measures which satisfy the one dimensional convex infimum convolution inequality of Maurey. For these measures the tensorization argument yields the two level Talagrand's concentration inequalities for their products and convex sets in $\mathbb{R}^n$.

研究动机与目标

• 表征 R 上满足一维凸下确界卷积不等式（性质(τ)）的对称Borel概率测度
• 将此表征扩展至 R^n 上的乘积测度，并推导凸集的集中不等式
• 在该类测度下建立凸集与Lipschitz函数的两层Talagrand型集中不等式
• 表明凸性质(τ)比Poincaré不等式蕴含更强的集中性，即使对不满足Poincaré不等式的测度亦然

提出的方法

• 使用带非负代价函数 φ 的凸下确界卷积不等式（性质(τ)），通过下确界卷积定义：(f□φ)(x) = inf_y {f(y) + φ(x−y)}
• 对乘积测度 μ = μ₁ ⊗ … ⊗ μₙ 应用性质(τ)的张量化，保持不等式成立，其中 φ(x) = ∑φ₀(xᵢ/C_τ)
• 通过不等式 μ(A + B_φ(t)) ≥ 1 − e^{-t}/μ(A) 推导凸集的集中性，其中 B_φ(t) = {x : φ(x) ≤ t}
• 通过分解 x = y + z，满足 |y|₂ ≤ √(2t)C_τ 且 |z|₁ ≤ 2tC_τ，建立两层集中性，从而得到 x ∈ √(2t)C_τB₂ⁿ + 2tC_τB₁ⁿ
• 使用中位数为基础的集中性界处理Lipschitz函数，通过凸集 A = {f ≤ Medₐf} 与 B = {f < Medₐf − r} 推导尾部估计
• 证明指数尾部界：μ(|f − Medₐf| > r) ≤ 2 exp(−1/8 min{r/b, r²/a²})，其中 f 为1-Lipschitz函数，a, b 与代价函数 φ 相关

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 R 上的对称测度满足一维凸下确界卷积不等式（性质(τ)）？
• RQ2 凸性质(τ)在乘积测度下如何张量化，以在 R^n 中实现集中性？
• RQ3 能否使用凸性质(τ)而非对数Sobolev或Poincaré不等式，建立凸集的两层Talagrand型集中不等式？
• RQ4 在满足凸下确界卷积不等式的测度下，Lipschitz函数的精确尾部界是什么？
• RQ5 凸性质(τ)如何在即使对非对数凹或原子测度下，也比Poincaré不等式蕴含更强的集中性？

主要发现

• 本文完全表征了满足一维凸下确界卷积不等式的对称测度，表明其恰好为最优常数有限且与Muckenhoupt型条件相关的测度
• 对于此类测度，性质(τ)的张量化产生两层集中性：μ(A + 6√tB₂ⁿ + 9tB₁ⁿ) ≥ 1 − e^{-t}/μ(A)，推广了Talagrand的结果
• 通过下确界卷积不等式推导凸集的集中性，得到 μ(A + B_φ(t)) ≥ 1 − e^{-t}/μ(A)，其中 B_φ(t) 为代价函数的下水平集
• 对于1-Lipschitz函数 f，中位数偏差满足 μ(|f − Medₐf| > r) ≤ 2 exp(−1/8 min{r/b, r²/a²})，其中 a, b 依赖于代价函数 φ
• 该方法比Poincaré不等式产生更强的集中性，因为凸性质(τ)在 √t 与 t 项中均蕴含指数衰减，而Poincaré仅在 √t 项中衰减
• 即使对不满足Poincaré不等式的测度（如纯原子测度）也适用，只要其满足凸下确界卷积不等式