[论文解读] A note on the global stochastic maximum principle for fully coupled forward-backward stochastic systems

Mingshang Hu, Shaolin Ji+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过引入两个通用假设，将全局随机最大值原理扩展至具有非凸控制域的完全耦合前向-后向随机系统，确保Hu等人的方法可适用。该研究在弱耦合假设更弱的条件下建立了最大值原理，证明了变分方程和伴随过程的存在性与估计，并将状态空间推广至多维情形。

ABSTRACT

Hu et. al 2018 studied a stochastic optimal control problem for fully coupled forward-backward stochastic control systems with a nonempty control domain. By assuming a weakly coupled condition, they established an approach to obtain the first-order, second-order variational equations and the adjoint equations for the states X, Y and Z and deduced the global maximum principle. But it is well known that there are several different conditions such as monotonicity condition, weakly coupled condition and other conditions which can guarantee the existence and uniqueness of the solution to fully coupled FBSDEs. In this note, to overcome the limitations of assuming a specific condition, we propose two kinds of assumptions which can guarantee that the approach developed in Hu et. al 2018 is still applicable. Under these two kinds of assumptions, we obtain the global stochastic maximum principle.

研究动机与目标

• 为解决在完全耦合前向-后向随机控制系统中，全局随机最大值原理要求特定条件（如弱耦合或单调性）的局限性。
• 识别出保持Hu等[4]方法有效性的最小、通用假设，以推导一阶与二阶变分方程及伴随方程。
• 在这些广义条件下证明全局随机最大值原理成立，包括多维状态过程的情形。
• 在新假设下建立FBSDE及其变分方程解的$L^p$-估计。
• 将框架从原始的标量状态假设推广至多维状态变量。

提出的方法

• 提出两组新假设以替代限制性较强的弱耦合条件：一组基于一阶伴随解的有界性，另一组基于扩散系数$\sigma$对$z$的线性依赖性。
• 采用尖刺变分法推导最优性的必要条件，利用$X$、$Y$和$Z$的变分方程。
• 在新假设下建立FBSDE及其变分方程解的$L^p$-估计，确保稳定性与可积性。
• 通过确保FBSDE及伴随方程解的存在性与唯一性，间接应用Ekeland变分原理。
• 将状态过程$X$从标量推广至多维情形，同时保持完全耦合FBSDE的结构。
• 利用Itô公式与Gronwall型不等式，基于新假设控制增长与可积性，推导变分方程解的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设弱耦合或单调性等特定结构条件的前提下，建立完全耦合FBSDE的全局随机最大值原理？
• RQ2 对系数和解的性质的何种最小假设足以确保Hu等[4]方法中变分方法的有效性？
• RQ3 如何在一般假设下而非特定系数结构下推导变分方程的$L^p$-估计？
• RQ4 在一阶伴随方程存在唯一有界解的何种条件下，该性质如何影响最大值原理？
• RQ5 该框架能否在保持最优性条件的同时推广至多维状态过程？

主要发现

• 在两个新通用假设下建立了全局随机最大值原理，消除了对弱耦合或单调性等限制性结构条件的依赖。
• 第一个假设——FBSDE存在唯一解，且一阶伴随方程有有界解——确保了状态与变分过程的$L^p$-估计。
• 第二个假设——$\sigma$关于$z$线性，FBSDE解唯一，满足$L^p$-估计，且一阶伴随方程解唯一——同样确保了所需估计与最大值原理的有效性。
• 本文证明，在两组假设下，一阶与二阶变分方程均满足推导最大值原理所必需的估计。
• 状态过程$X$从标量推广至多维情形，显著拓宽了框架的适用范围。
• 结果在非凸控制域下依然稳健，解决了Peng[16]关于非凸设定下一阶变分方程的开放问题。