[论文解读] A global stochastic maximum principle for fully coupled forward-backward stochastic systems
本文通过引入一种新颖的解耦方法，利用二次倒向随机微分方程（BSDE）作为伴随方程，建立了完全耦合的前向-后向随机控制系统的全局随机最大值原理，其控制域为非凸。该方法揭示了首阶泰勒展开项之间的隐藏关系，从而推导出包含新项的完整最大值原理，克服了以往方法在扩散系数依赖于控制时的局限性。
We study a stochastic optimal control problem for fully coupled forward-backward stochastic control systems with a nonempty control domain. For our problem, the first-order and second-order variational equations are fully coupled linear FBSDEs. Inspired by Hu (Hu, Probability, Uncertainty and Quantitative Risk, 2(1) (2017):pp 1-20), we develop a new decoupling approach by introducing an adjoint equation which is a quadratic BSDE. By revealing the relations among the terms of the first-order Taylor's expansions, we estimate the orders of them and derive a global stochastic maximum principle which includes a completely new term. Applications to stochastic linear quadratic control problems are investigated.
研究动机与目标
- 解决在非凸控制域下推导随机递归最优控制全局最大值原理的开放问题。
- 克服经典首阶展开方法在扩散项依赖于控制的随机系统中失效的问题。
- 为变分方程中出现的完全耦合线性FBSDE开发一种新的解耦技术。
- 消除基于Ekeland变分原理方法中出现的未知参数。
- 建立一个包含此前局部或经典形式中未出现的新项的完整全局最大值原理。
提出的方法
- 引入一个源自FBSDE系统首阶变分方程的二次BSDE作为伴随方程。
- 揭示并利用状态过程与伴随过程首阶泰勒展开项之间的隐藏关系。
- 通过一种新分解方法，将完全耦合的线性FBSDE通过p(t)、δσ(t)和X₁(t)表示Z(t)的变化量来实现解耦。
- 对解耦系统应用Itô公式，推导最优性条件并验证解的结构。
- 以Ekeland变分原理为基础，但通过新伴随结构消除未知参数。
- 在γ₂(·)满足小量条件且系数满足可积性假设下，证明伴随过程(p(·), q(·))的唯一性。
实验结果
研究问题
- RQ1当控制域为非凸且扩散系数依赖于控制时，能否为完全耦合的前向-后向随机控制系统推导出全局随机最大值原理？
- RQ2首阶泰勒展开项在变分方程中的作用是什么？如何利用其相互依赖关系实现解耦？
- RQ3如何消除基于Ekeland变分原理方法中的未知参数，以获得闭式最大值原理？
- RQ4在此完全耦合设定下，伴随方程的结构是什么？它与经典线性伴随BSDE有何不同？
- RQ5在何种条件下，伴随FBSDE的解唯一，从而确保最大值原理的有效性？
主要发现
- 推导出一种新的全局随机最大值原理，其中包含此前未被考虑的新项，扩展了经典与局部最大值原理的范围。
- 首阶变分方程为完全耦合的线性FBSDE，但其结构允许通过Y₁(t)、Z₁(t)与伴随过程(p(t), q(t))之间的关系实现解耦。
- 伴随方程为二次BSDE，使得最大值原理的推导无需依赖脉冲变分或带有未知参数的Ekeland原理。
- 在γ₂(·)满足小量条件且系数满足可积性假设下，证明了伴随过程(p(·), q(·))的唯一性，确保了原理的一致性。
- 该方法成功克服了在二阶展开中Z(·)的正则性/可积性不足的技术障碍，解决了先前工作中的一项关键难题。
- 通过在随机线性-二次控制问题中的应用，展示了该原理的实际相关性与有效性。
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