[论文解读] A note on the precompactness of weakly almost periodic groups

Michael Megrelishvili, Vladimir Pestov+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2000

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用 20

一句话总结

该论文证明了对于任意拓扑群 $G$，以下三个条件等价：(1) $G$ 在任意紧空间上的每个连续作用都是弱几乎周期的；(2) $G$ 上每个有界右一致连续函数都是弱几乎周期的；(3) $G$ 是预紧的。其主要贡献在于给出了一个已知结果的逆定理的一般性证明，推广了 Akin 和 Glasner 对单生成群的早期工作，并确认预紧性正是保证所有紧空间上连续作用均为弱几乎周期性的精确条件。

ABSTRACT

An action of a group $G$ on a compact space $X$ is called weakly almost periodic if the orbit of every continuous function on $X$ is weakly relatively compact in $C(X)$. We observe that for a topological group $G$ the following are equivalent: (i) every continuous action of $G$ on a compact space is weakly almost periodic; (ii) $G$ is precompact. For monothetic groups the result was previously obtained by Akin and Glasner, while for locally compact groups it has been known for a long time.

研究动机与目标

• 建立所有紧空间上连续作用的弱几乎周期性与底层拓扑群预紧性之间的等价性。
• 将此前仅对单生成群和局部紧群成立的结果推广为适用于任意拓扑群的一般性刻画。
• 利用不变平均和 Pachl 的结果，重新证明 Ellis-Lawsom 联续性定理。
• 澄清弱几乎周期紧化 $G^w$ 与最大 ambit ${\mathcal{S}}(G)$ 之间的关系，特别是它们在何种条件下重合。

提出的方法

• 利用不变平均理论和 Pachl 关于唯一可均性的结果，分析拓扑群中的弱几乎周期性。
• 应用 Ryll-Nardzewski 定理，当 $W(G) = \mathrm{RUC}^b(G)$ 时推导出唯一可均性。
• 通过引理 4.4 的子群与商群论证，将一般情形约化为可分度量情形。
• 利用最大 ambit ${\mathcal{S}}(G)$ 上的典范 $G$-空间结构及其泛性质，将弱几乎周期性与紧化结构联系起来。
• 利用 $G^w$ 是 $G$ 的最大紧半拓扑半群商这一事实，分析函数的轨道结构。
• 应用 w.a.p. 群类对子群和同态像的封闭性（引理 4.3），在约化过程中保持该性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，拓扑群 $G$ 的每个在紧空间上的连续作用都是弱几乎周期的？
• RQ2 预紧性是否是所有有界连续函数在群作用下弱几乎周期性的必要且充分条件？
• RQ3 当弱几乎周期紧化 $G^w$ 与最大 ambit ${\mathcal{S}}(G)$ 重合时，是否能刻画任意拓扑群的预紧性？
• RQ4 能否在不依赖于单生成群或局部紧群已有结果的前提下，独立建立弱几乎周期性与预紧性之间的等价性？

主要发现

• 对于任意拓扑群 $G$，所有紧空间上连续作用均为弱几乎周期的条件，等价于 $G$ 是预紧的。
• 弱几乎周期函数空间 $W(G)$ 与有界右一致连续函数空间 $\mathrm{RUC}^b(G)$ 重合，当且仅当 $G$ 是预紧的。
• canonical map $G \to G^w$ 是拓扑嵌入，当且仅当 $G$ 是预紧的，尽管一般情况下不成立，如 $\mathrm{Homeo}_+(\mathbb{I})$ 等反例所示。
• 该证明建立了当 $W(G) = \mathrm{RUC}^b(G)$ 时，$G$ 必为唯一可均的，这是通向预紧性的关键中间步骤。
• 该结果将 Akin 和 Glasner（针对单生成群）以及经典局部紧群结果推广至任意拓扑群。
• 利用不变平均和 Pachl 的结果，重新证明了 Ellis-Lawsom 联续性定理，提供了新的且更简洁的证明。