[论文解读] A note on the real part of the Riemann zeta-function

Juan Arias de Reyna, Richard P. Brent+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种高效算法，用于高精度计算临界常数 $\sigma_0 \approx 1.19$，即满足 $\mathrm{Re\,}\zeta(\sigma + it)$ 对某个实数 $t$ 可以为零或负的 $\sigma$ 的上确界。该算法通过梅尔滕函数和反三角级数对级数进行加速，以高精度计算 $\sigma_0$，并识别出 $\sigma = 1$ 上前 50 个区间，其中 $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$，首个区间出现在 $t \approx 682112.9169$，长度约为 $0.0529$。前 50 个区间长度之和估计了密度 $d(1) \approx 3.85 \times 10^{-7}$。

ABSTRACT

We consider the real part $\Re(ζ(s))$ of the Riemann zeta-function $ζ(s)$ in the half-plane $\Re(s) \ge 1$. We show how to compute accurately the constant $σ_0 = 1.19\ldots$ which is defined to be the supremum of $σ$ such that $\Re(ζ(σ+it))$ can be negative (or zero) for some real $t$. We also consider intervals where $\Re(ζ(1+it)) \le 0$ and show that they are rare. The first occurs for $t$ approximately 682112.9, and has length about 0.05. We list the first fifty such intervals.

研究动机与目标

• 以高精度计算常数 $\sigma_0 = \sup\{\sigma \in \mathbb{R} \mid \exists t \in \mathbb{R}, \mathrm{Re\,}\zeta(\sigma + it) = 0\}$。
• 开发一种高效算法，通过将收敛缓慢的级数 $f(\sigma) = \sum_p \arcsin(p^{-\sigma}) - \pi/2$ 转化为快速收敛的双重级数形式进行求值。
• 识别并列出 $\sigma = 1$ 上前 50 个区间，其中 $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$，包括其位置和长度。
• 利用前 50 个区间长度之和，估计集合 $\{t \in \mathbb{R}_{>0} \mid \mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0\}$ 的自然密度 $d(1)$。

提出的方法

• 利用欧拉乘积和莫比乌斯反演，通过 $P(\sigma) = \sum_{r=1}^\infty \frac{\mu(r)}{r} \log \zeta(r\sigma)$ 计算梅尔滕函数 $P(\sigma) = \sum_p p^{-\sigma}$，当 $\sigma > 1$ 时该公式收敛迅速。
• 将 $f(\sigma) = \sum_p \arcsin(p^{-\sigma}) - \pi/2$ 表示为双重级数形式 $f(\sigma) = \sum_{k=0}^\infty c_k P((2k+1)\sigma) - \pi/2$，其中 $c_k = \frac{(2k)!}{(2^k k!)^2 (2k+1)}$，从而实现更快的收敛速度。
• 应用不等式 $c_k \leq \frac{1}{2(2k+1)}$ 控制尾部误差，并确定 $k$ 的截断点，实现严格的误差控制。
• 利用恒等式 $f(\sigma) = \sum_{j=1}^\infty d_j \log \zeta(j\sigma) - \pi/2$，其中 $d_j = \sum_{k \geq 0, r > 0, (2k+1)r = j} \frac{c_k \mu(r)}{r}$，实现高效求值，利用预计算的 $\log \zeta(j\sigma)$ 值。
• 应用零点查找算法（如二分法或割线法）在 $f(\sigma)$ 的符号发生变化的区间（如 $[1.1, 1.2]$）内定位 $f(\sigma)$ 的根，同时保证误差界限。
• 应用最大斜率原理，并结合对对数导数的有界性 $\left| \mathrm{Re} \frac{\zeta'(1+it)}{\zeta(1+it)} \right| \leq \frac{3}{4} \log(t^2 + 4) + 7$（当 $t \geq 10$ 时），严格定位首个满足 $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$ 的 $t$。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界常数 $\sigma_0$ 的精确值是多少？即满足 $\mathrm{Re\,}\zeta(\sigma + it)$ 对某个实数 $t$ 可以为零或负的 $\sigma$ 的上确界。
• RQ2 如何将收敛缓慢的级数 $\sum_p \arcsin(p^{-\sigma})$ 转化为适合数值计算的快速收敛形式？
• RQ3 在 $\sigma = 1$ 上，前 50 个满足 $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$ 的区间的位点和长度分别是什么？
• RQ4 集合 $\{t > 0 \mid \mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0\}$ 的自然密度 $d(1)$ 的估计值是多少？
• RQ5 在 $t \approx 682112.9169$ 处，$\mathrm{Re\,}\zeta(1+it)$ 的首次过零是否为全局最小值？其最小值是多少？

主要发现

• 通过级数变换和零点查找算法，高精度计算出常数 $\sigma_0$，结果为 $\sigma_0 \approx 1.19$。
• 首个满足 $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$ 的区间出现在 $t \approx 682112.9169$，长度约为 $0.05291225$。
• 首次满足 $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$ 的 $t$ 为 $t \approx 682112.8913$，局部最小值为 $-0.0027652$。
• 前 50 个满足 $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$ 的区间的长度之和为 $6.48390168$，由此估计密度 $d(1) \approx 3.85 \times 10^{-7}$。
• 蒙特卡洛方法对 $d(1)$ 的估计值为 $3.80 \times 10^{-7}$，与区间长度之和的估计值高度一致。
• 表 1 列出了前 50 个负的局部极小值，其值在 $-0.0826$ 到 $-0.0008$ 之间，区间长度在 $0.0305$ 到 $0.2840$ 之间。