[论文解读] A note on the relation between a singular linear discrete time system and a singular linear system of fractional nabla difference equations

Charalambos P. Kontzalis, Grigoris I. Kalogeropoulos|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文利用矩阵束理论，建立了奇异线性离散时间系统与奇异线性分数阶后向差分方程组之间的数学桥梁。通过在固定时间间隔对连续时间奇异系统进行采样，并应用零阶保持近似，作者推导出一个将连续解与分数阶后向差分系统相联系的离散时间状态方程，并在矩阵束为非奇异的条件下证明了解的存在性与唯一性。

ABSTRACT

In this article we focus our attention on the relation between a singular linear discrete time system and a singular linear system of fractional nabla difference equations whose coefficients are square constant matrices. By using matrix pencil theory, first we give necessary and sufficient condition to obtain a unique solution for the continuous time model. After by assuming that the input vector changes only at equally space sampling instants, we shall derive the corresponding discrete time state equation which yield the values of the solutions of the continuous time model which will connect the initial system to the singular linear system of fractional nabla difference equations.

研究动机与目标

• 建立奇异线性离散时间系统与奇异分数阶后向差分方程之间严谨的数学关系。
• 分析由奇异系数矩阵的矩阵微分方程所描述的连续时间奇异系统。
• 通过采样与零阶保持近似，从连续模型推导出离散时间状态方程。
• 利用矩阵束理论与魏尔斯特拉斯标准型，确保解的存在性与唯一性。
• 通过离散采样与近似技术，将连续系统的解与分数阶后向差分系统相连接。

提出的方法

• 利用矩阵束理论分析矩阵束 $ sF - G $ 的正则性，将其分解为有限与无限初等因子。
• 应用复数魏尔斯特拉斯标准型，将系统分解为对应于有限与无限特征值的解耦约当块与幂零块。
• 利用过渡矩阵 $ F(t,s) = Q_p e^{J_p(t-s)} $（对应有限特征值）与 $ Q_q $（对应无限特征值），推导出连续系统的基本解矩阵 $ F(t,s) $。
• 实施零阶保持采样，将输入 $ V(t) $ 建模为在区间 $ [kT, (k+1)T) $ 上的分段常数函数，从而实现离散时间近似。
• 将连续解转化为离散时间状态方程 $ Y_{k+1} = F(T,0)Y_k + U_k $，其中 $ U_k $ 包含通过有限差分近似的积分项与导数项。
• 对输入的高阶导数使用有限差分近似，以 $ V_{k-i+j} $ 的离散和代替 $ V^{(i)}(t) $，从而实现离散化实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有奇异系数矩阵的奇异线性连续时间系统会存在唯一解？
• RQ2 如何通过采样对连续时间奇异系统进行离散化，以保持解的结构并连接到分数阶后向差分系统？
• RQ3 奇异连续时间系统的解与奇异分数阶后向差分方程之间存在何种精确的数学关系？
• RQ4 矩阵束 $ sF - G $ 的有限与无限特征值如何影响离散时间系统的结构与可解性？
• RQ5 能否推导出一个离散时间状态方程，以准确表示连续系统的采样值，同时保持分数阶动力学特性？

主要发现

• 当且仅当矩阵束 $ sF - G $ 为非奇异时，连续时间奇异系统存在唯一解，此结论由魏尔斯特拉斯标准型确认。
• 连续系统的解被分解为与有限特征值（指数衰减或增长）相关的分量与与无限特征值（多项式形式）相关的分量，后者由幂零矩阵控制。
• 通过在时间间隔 $ T $ 对连续解进行采样，推导出离散时间状态方程 $ Y_{k+1} = F(T,0)Y_k + U_k $，其中 $ U_k $ 包含积分项与导数项。
• 输入的导数项 $ V^{(i)}(t) $ 通过有限差分近似，得到涉及 $ V_{k-i+j} $ 的表达式，从而实现离散化实现。
• 所得离散系统将连续解与分数阶后向差分方程相连接，其离散状态演化由过渡矩阵 $ F(T,0) $ 与包含 $ H_q $ 及输入导数的修正项共同控制。
• 推导结果表明，该离散系统能准确捕捉连续系统的采样动态，其分数阶特性通过解的结构与导数的近似方式自然呈现。