[论文解读] A novel algorithm for computing the Frechet mean in Hadamard spaces

Miroslav Bačák|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Morphological variations and asymmetry被引用 7

一句话总结

本文提出了首个已知的在哈达姆空间中计算弗雷歇均值和几何中位数的算法，采用分裂邻近点算法和大数定律方法。该文在哈达姆空间中建立了收敛性，并实现了对中位数和均值的高效计算，特别是在树空间中，多项式时间的测地线计算使得实际应用成为可能。

ABSTRACT

The geometric median as well as the Frechet mean of points in an Hadamard space are important in both theory and applications. Surprisingly, no algorithms for their computation are hitherto known. To address this issue, we use a split version of the proximal point algorithm for minimizing a sum of convex functions and prove that this algorithm produces a sequence converging to a minimizer of the objective function, which extends a recent result of D. Bertsekas (2001) into Hadamard spaces. The method is quite robust and not only does it yield algorithms for the median and the mean, but it also applies to various other optimization problems. We moreover show that another algorithm for computing the Frechet mean can be derived from the law of large numbers due to K.-T. Sturm (2002). In applications, computing medians and means is probably most needed in tree space, which is an instance of an Hadamard space, invented by Billera, Holmes, and Vogtmann (2001) as a tool for averaging phylogenetic trees. It turns out, however, that it can be also used to model numerous other tree-like structures. Since there now exists a polynomial-time algorithm for computing geodesics in tree space due to M. Owen and S. Provan (2011), we obtain efficient algorithms for computing medians and means, which can be directly used in practice.

研究动机与目标

• 开发首个在哈达姆空间中可计算的弗雷歇均值和几何中位数的算法。
• 将 D. Bertsekas（2001）的邻近点收敛结果扩展到哈达姆空间的设定中。
• 实现在树空间中对中位数和均值的实用计算，这是系统发育树平均的关键应用领域。
• 展示所提出方法在均值和中位数计算之外的各类优化问题中的鲁棒性与广泛适用性。

提出的方法

• 使用哈达姆空间中凸函数和的分裂版本邻近点算法。
• 证明了该算法在哈达姆空间中收敛于目标函数的极小化点，将 Bertsekas 的结果扩展至非欧几里得设定。
• 通过将问题表述为最小化问题，将该方法应用于计算弗雷歇均值和几何中位数。
• 从 K.-T. Sturm（2002）在哈达姆空间中的大数定律推导出弗雷歇均值的替代算法。
• 该方法利用了树空间中存在多项式时间计算测地线的特性。
• 邻近点方法与高效的测地线计算相结合，为实际应用提供了实用且高效的算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个收敛算法来计算哈达姆空间中的弗雷歇均值，而此前此类算法尚不存在？
• RQ2 如何对邻近点算法进行调整，以确保其在哈达姆空间这一一般设定下的收敛性？
• RQ3 能否利用哈达姆空间中的大数定律推导出一个计算弗雷歇均值的实用算法？
• RQ4 所提出的方法在多大程度上具有鲁棒性，并可推广应用于均值和中位数计算之外的其他优化问题？
• RQ5 在已知存在多项式时间测地线计算的前提下，弗雷歇均值和中位数在树空间中能以何种效率计算？

主要发现

• 分裂邻近点算法在哈达姆空间中收敛于目标函数的极小化点，将 Bertsekas（2001）的结果扩展至非欧几里得设定。
• 该算法实现了哈达姆空间中弗雷歇均值和几何中位数的首次实用计算。
• 该方法在哈达姆空间的各类优化问题中具有鲁棒性和可扩展性。
• 从 Sturm（2002）的大数定律中推导出弗雷歇均值的替代算法，提供了第二种计算路径。
• 在树空间中，所提算法与多项式时间测地线计算相结合，可产生高效且可直接使用的中位数和均值计算算法。
• 研究结果为在树状结构中计算中位数和均值奠定了基础，具有在系统发育学及其他领域中的直接应用价值。