[论文解读] Averaging metric phylogenetic trees

Ezra Miller, Megan Owen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2012

Morphological variations and asymmetry参考文献 49被引用 20

一句话总结

本文利用树空间的几何结构（一种由欧几里得正交卦限组成的非正曲率空间）发展了计算度量系统发育树弗雷chet均值的计算方法。该文提出了一种树空间的多面体剖分，使得方差函数具有连续可微性，并提出了两种迭代算法——基于斯图尔姆的大数定律和凸多面体上的下降法——均可收敛至弗雷chet均值。

ABSTRACT

This paper investigates the computational geometry relevant to calculations of the Frechet mean and variance for probability distributions on the phylogenetic tree space of Billera, Holmes and Vogtmann, using the theory of probability measures on spaces of nonpositive curvature developed by Sturm. We show that the combinatorics of geodesics with a specified fixed endpoint in tree space are determined by the location of the varying endpoint in a certain polyhedral subdivision of tree space. The variance function associated to a finite subset of tree space is continuously differentiable within each cell of the corresponding subdivision. We use this subdivision to establish two iterative methods for producing sequences that converge to the Frechet mean: one based on Sturm's Law of Large Numbers, and another based on descent algorithms for finding optima of smooth functions on convex polyhedra. We present properties and biological applications of Frechet means and extend our main results to more general globally nonpositively curved spaces composed of Euclidean orthants.

研究动机与目标

• 开发在度量系统发育树空间中计算弗雷chet均值的计算可行方法。
• 理解在固定终点条件下树空间中测地线的组合结构。
• 确立方差函数连续可微的条件。
• 将弗雷chet均值理论推广至由欧几里得正交卦限构成的一般全局非正曲率空间。
• 通过计算算法，为系统发育学中的弗雷chet均值提供生物应用。

提出的方法

• 本文利用斯图尔姆在非正曲率空间上的概率测度理论，定义了树空间中的弗雷chet均值与方差。
• 构建了树空间的一种多面体剖分，使得具有固定终点的测地线结构仅依赖于变动终点在每个胞腔内的位置。
• 证明了该剖分中每个胞腔内方差函数具有连续可微性。
• 提出了一种基于斯图尔姆大数定律的迭代算法，用于收敛至弗雷chet均值。
• 提出了第二种算法，利用光滑函数在凸多面体上的下降法来最小化方差函数。
• 将结果推广至由欧几里得正交卦限构成的一般全局非正曲率空间，将框架推广至系统发育树之外的更广范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在树空间中高效计算有限组度量系统发育树的弗雷chet均值？
• RQ2 当一个端点固定时，什么决定了树空间中测地线的组合结构？
• RQ3 在树空间的哪些区域中方差函数是连续可微的？
• RQ4 能否基于树空间的几何结构构造收敛至弗雷chet均值的迭代算法？
• RQ5 弗雷chet均值理论如何推广至由欧几里得正交卦限构成的更一般非正曲率空间？

主要发现

• 在固定一个端点时，树空间中的测地线结构由变动端点在特定多面体剖分中的位置决定。
• 与树空间有限子集相关的方差函数在其对应多面体剖分的每个胞腔内均具有连续可微性。
• 建立了两种收敛至弗雷chet均值的迭代算法：一种基于斯图尔姆的大数定律，另一种基于光滑凸函数的下降法。
• 由于树空间具有全局非正曲率且方差函数存在唯一极小化子，弗雷chet均值在树空间中定义良好且可计算。
• 该框架被推广至由欧几里得正交卦限构成的一般全局非正曲率空间，扩大了其在系统发育树之外的应用范围。
• 所提出方法的计算可行性与几何基础，为系统发育学中弗雷chet均值的生物应用提供了支持。