[论文解读] A novel formulation of the PBH mass function

Teruaki Suyama, Shuichiro Yokoyama|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2019

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 43被引用 7

一句话总结

本文通过在标准原初黑洞（PBH）形成准则中引入一个额外的物理条件，提出了一种新颖且概念严谨的原初黑洞质量函数表述，解决了以往微分形式表述中长期存在的模糊性问题。该方法通过在一维高斯原初涨落上进行泛函积分，实现了对PBH质量函数的严格无歧义计算，得到了以误差函数表示的闭式解析表达式。

ABSTRACT

Computations of the primordial black hole (PBH) mass function discussed in the literature have conceptual issues. They stem from that the mass function is a differential quantity and the standard criterion of the PBH formation from the seed primordial fluctuations cannot be directly applied to the computation of the differential quantities. We propose a new criterion of the PBH formation which is an addition of one extra condition to the existing one. By doing this, we derive a formal expression of the PBH mass function without introducing any ambiguous interpretations which exist in the previous studies. Once the underlying primordial fluctuations are specified, the PBH mass function can be in principle determined by the new formula. As a demonstration of our formulation, we compute the PBH mass function analytically for the case where the perturbations are Gaussian and the space is one dimension.

研究动机与目标

• 解决现有PBH质量函数表述中的概念模糊性问题，这些表述使用原本不适用于微分计算的标准不适宜准则来处理质量函数这一微分量。
• 提出一个具有物理动机且数学一致的PBH形成准则，该准则能自然导出质量函数，而无需人为解释。
• 通过原初密度涨落的泛函积分，为PBH质量函数提供一个形式表达式，适用于任意基础功率谱。
• 通过解析计算一维高斯分布的原初扰动，证明该表述的可行性。

提出的方法

• 通过在标准密度对比阈值条件基础上增加对局部曲率或紧致函数的约束，提出一种新的PBH形成准则。
• 使用紧致函数 $\mathcal{C}(r)$ 作为关键变量来定义形成阈值，确保规范不变性与尺度无关性。
• 将PBH质量函数表述为对原初场 $\theta$ 的泛函积分，加权于联合概率密度 $P[\theta]$，如式 (18) 所示。
• 通过计算场及其导数的特征函数，将方法应用于一维高斯场，导出多变量高斯积分。
• 利用高斯积分的性质与互补误差函数，对所得泛函积分进行解析求解，得到式 (32)。
• 通过场导数协方差矩阵的逆矩阵与阈值 $\theta_{\rm th}$，推导出PBH质量函数的最终表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖峰理论或Press-Schechter形式主义的先验方法所固有的概念模糊性下，构建PBH质量函数？
• RQ2 为确保在计算如质量函数这类微分量时的一致性，必须在标准PBH形成准则上施加何种额外物理条件？
• RQ3 能否基于原初涨落的泛函积分，从第一原理出发，推导出PBH质量函数的严格无歧义表达式？
• RQ4 当新表述应用于一维高斯原初功率谱时，会得出哪些解析结果？
• RQ5 该新准则是否可扩展用于计算其他PBH统计特性，如自旋分布或两点相关函数？

主要发现

• 所提出的表述通过在形成准则中引入具有物理动机的附加条件，消除了以往PBH质量函数计算中的概念模糊性。
• PBH质量函数以泛函积分形式表达（式 18），仅依赖于原初涨落统计特性，因此在形式上是明确定义的。
• 对于一维高斯原初涨落，质量函数被解析计算，并以互补误差函数及矩阵不变量表示（式 32）。
• 结果表明，质量函数依赖于场导数的二阶与三阶矩，其信息编码于矩阵 $M_{ij}$ 与 $B_{ij}$ 中，并依赖于阈值 $\theta_{\rm th}$。
• 该表述具有可推广性：通过修改狄拉克函数约束与阈值条件，可进一步推导出自旋分布与两点相关函数等其他统计量。
• 该方法为从PBH观测中获得对原初功率谱与暴胀模型的稳健约束奠定了基础，尤其在传统方法失效的宽功率谱情形下更具优势。