[论文解读] A Novel Unified Approach to Invariance in Control

Zoltán Horváth, Yunfei Song+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems被引用 3

一句话总结

本文提出一个统一框架，用于确定凸集（多面体、多面锥、椭球体和洛伦兹锥）在连续或离散线性动力系统下的不变性必要与充分条件。通过采用S-lemma替代传统李雅普诺夫方法，该方法将不变性分析扩展至一般二次不等式定义的集合，包括非凸和无界集合，并通过欧拉离散化方法从离散情形推导出连续系统的条件。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel, unified, general approach to investigate sufficient and necessary conditions under which four types of convex sets, polyhedra, polyhedral cones, ellipsoids and Lorenz cones, are invariant sets for a linear continuous or discrete dynamical system. In proving invariance of ellipsoids and Lorenz cones for discrete systems, instead of the traditional Lyapunov method, our novel proofs are based on the S-lemma, which enables us to extend invariance conditions to any set represented by a quadratic inequality. Such sets include nonconvex and unbounded sets. Finally, according to the framework of our novel method, sufficient and necessary conditions for continuous systems are derived from the sufficient and necessary conditions for the corresponding discrete systems that are obtained by Euler methods.

研究动机与目标

• 统一分析四类关键凸集——多面体、多面锥、椭球体和洛伦兹锥——在连续与离散线性系统下的不变性。
• 通过引入S-lemma作为基础工具，克服传统李雅普诺夫方法在分析椭球体和洛伦兹锥不变性方面的局限性。
• 将不变性条件扩展至由任意二次不等式定义的集合，包括非凸和无界集合，从而扩大适用范围。
• 通过欧拉方法建立连续系统与离散近似之间不变性条件的系统性关联。

提出的方法

• 利用S-lemma推导离散时间系统中椭球体和洛伦兹锥的不变性条件，替代传统的基于李雅普诺夫函数的分析方法。
• 将S-lemma应用于由任意二次不等式定义的集合，实现对非凸和无界集合的不变性分析，突破标准凸锥的限制。
• 通过将对应离散时间系统的欧拉离散化应用于连续系统，推导出连续系统的不变性条件，确保连续与离散框架之间的一致性。
• 建立一个通用框架，统一处理线性动力系统下不同类型凸集与二次集的不变性分析。
• 基于凸分析与二次型，通过可表示为线性矩阵不等式（LMIs）或相关约束的代数条件表征不变性。
• 证明了相同分析结构适用于多面体与多面锥，从而实现对全部四类集合的统一处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性离散时间系统保持椭球体与洛伦兹锥为不变集的必要与充分条件是什么？
• RQ2 如何系统性地应用S-lemma，将不变性条件推广至由任意二次不等式定义的集合，而不仅限于凸集？
• RQ3 通过欧拉方法获得的离散近似与连续系统之间的不变性条件存在何种关系？
• RQ4 能否构建一个统一框架，用于分析线性动力系统下多面体、多面锥、椭球体与洛伦兹锥的不变性？
• RQ5 所提出的方法在多大程度上可扩展至由二次不等式定义的非凸或无界集合？

主要发现

• S-lemma使得无需依赖李雅普诺夫函数，即可推导出离散系统中椭球体与洛伦兹锥的不变性条件。
• 该方法可推广至由任意二次不等式定义的集合，包括非凸和无界集合，显著拓宽了不变性分析的适用范围。
• 连续时间系统的不变性条件通过欧拉离散化方法从其离散对应形式严格推导得出。
• 该框架统一处理了四类不同类型的凸集——多面体、多面锥、椭球体与洛伦兹锥——在线性动力系统下的不变性分析。
• 该方法提供了一套系统性的代数验证手段，通过二次型与矩阵不等式表达的条件来验证不变性。
• 研究结果表明，S-lemma在二次集合类的不变性分析中，相较于传统李雅普诺夫方法更具通用性。