[论文解读] A one-dimensional Hadamard walk with one defect

Takako Endo, Norio Konno+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用 13

一句话总结

本文研究了在原点处存在单个缺陷的一维离散时间量子行走，其中位置零处的量子骰子不同于标准的Hadamard矩阵。利用时空生成函数方法，作者推导出一个关于原点对称且与初始量子骰子态无关的时间平均极限测度，表明局域化仅取决于缺陷参数 ξ。该测度被显式计算并证明是归一化的且非均匀的，对所有位置 x ∈ ℤ 均有解析表达式。

ABSTRACT

We consider a one-dimensional space-inhomogeneous discrete time quantum walk. This model is the Hadamard walk with one defect at the origin which is different from the model introduced by Wojcik et al. [14]. We obtain a stationary measure of the model by solving the eigenvalue problem and an asymptotic behaviour of the return probability by the path counting approach. Moreover, we get the time-averaged limit measure using the space-time generating function method. The measure is symmetric for the origin and independent of the initial coin state at the starting point. So localization depends only on the parameter which determines the model.

研究动机与目标

• 研究一维离散时间量子行走在原点处存在单个缺陷时的动力学行为，该模型与Wojcik模型不同。
• 利用时空生成函数方法推导时间平均极限测度，该方法在此模型中无法得到平稳测度。
• 证明时间平均极限测度关于原点对称且与初始量子骰子态无关，意味着局域化仅取决于缺陷参数 ξ。
• 与Wojcik模型相比，分析平稳测度与时间平均测度的差异，突出初始态依赖性及量子骰子矩阵行列式行为的不同。

提出的方法

• 通过位置相关的酉矩阵定义该模型：当 x ≠ 0 时为Hadamard矩阵 H，当 x = 0 时为角度为 ξ 的旋转矩阵。
• 通过分裂生成函数（SGF）方法求解振幅向量的特征值问题，获得平稳测度。
• 利用路径计数方法分析返回振幅的渐近行为，得到组合表达式。
• 利用时空生成函数方法推导时间平均极限测度，涉及在单位圆上生成函数极点处的留数计算。
• 为每个位置 x 构造生成函数 Ξ̃_x(z)，并从单位圆上四个极点的平方留数之和中提取测度。
• 最终测度以关于 ξ 的闭式表达，显式依赖于 |x| 和参数 S = sinξ。

实验结果

研究问题

• RQ1 原点处单个缺陷的存在如何影响一维Hadamard量子行走的长时间行为？
• RQ2 在此缺陷模型中，时间平均极限测度的结构是什么？与平稳测度相比有何不同？
• RQ3 时间平均极限测度是否与初始量子骰子态无关？若是，这关于局域化意味着什么？
• RQ4 该模型与Wojcik模型在行列式行为和测度依赖性方面有何不同？
• RQ5 尽管该方法无法得到平稳测度，时空生成函数方法是否仍可成功用于推导此模型中的时间平均极限测度？

主要发现

• 时间平均极限测度关于原点对称，对所有 x ∈ ℤ 满足 μ̄_∞(x) = μ̄_∞(−x)。
• 该测度与初始量子骰子态 φ = [α, β]^T 无关，意味着局域化仅取决于缺陷参数 ξ。
• 当 x ≠ 0 时，测度为 μ̄_∞(x) = C(ξ) · (1/(3 − 2√2 sinξ))^|x|，其中 C(ξ) = 2(2 − √2 sinξ)(1 − √2 sinξ)^2 / (3 − 2√2 sinξ)^2。
• 当 x = 0 时，测度为 μ̄_∞(0) = 2(1 − √2 sinξ)^2 / (3 − 2√2 sinξ)^2，该式仅在 ξ ∈ [0, π/4) 时成立。
• 总测度是归一化的且小于1：∑_x∈ℤ μ̄_∞(x) = 2(1 − √2 sinξ)/(3 − 2√2 sinξ) < 1。
• 结果与CGMV方法一致，证实时间平均极限测度是平稳测度的推广，即使在此模型中无法通过时空生成函数方法得到平稳测度。