[论文解读] A p-adic analogue of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for modular abelian varieties

Jennifer S. Balakrishnan, J. Steffen Müller+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文通过周期归一化构造 p-adic L 函数，并验证其插值性质，在好普通情形下将 p-adic Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想推广至 Q 上的高维模阿贝尔簇。该猜想在椭圆曲线情形退化为 Mazur-Tate-Teitelbaum 的原始形式，在秩 0 情形与经典 BSD 猜想一致，且对解析秩为 4 的二维阿贝尔簇提供了数值证据支持。

ABSTRACT

Mazur, Tate, and Teitelbaum gave a p-adic analogue of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves. We provide a generalization of their conjecture in the good ordinary case to higher dimensional modular abelian varieties over the rationals by constructing the p-adic L-function of a modular abelian variety and showing that it satisfies the appropriate interpolation property. This relies on a careful normalization of the p-adic L-function, which we achieve by a comparison of periods. Our generalization agrees with the conjecture of Mazur, Tate, Teitelbaum in dimension 1 and the classical Birch Swinnerton-Dyer conjecture formulated by Tate in rank 0. We describe the theoretical techniques used to formulate the conjecture and give numerical evidence supporting the conjecture in the case when the modular abelian variety is of dimension 2.

研究动机与目标

• 将 p-adic Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想从椭圆曲线推广至 Q 上的高维模阿贝尔簇，在好普通情形下。
• 为模阿贝尔簇构造满足正确插值性质的 p-adic L 函数。
• 确保在秩 0 情形与经典 BSD 猜想一致，在维度 1 情形与原始 Mazur-Tate-Teitelbaum 猜想一致。
• 通过在 J0(31) 的一个秩 4 扭曲上的显式计算，提供理论与数值证据支持推广后的猜想。
• 建立用于高维情形下计算 p-adic 调节子与 p-adic L 函数特殊值的框架。

提出的方法

• 通过模符号与实周期和 p-adic 周期的比较，利用周期归一化构造模阿贝尔簇的 p-adic L 函数。
• 通过用 cyclotomic 特征的对数与伽罗瓦群的拓扑生成元归一化实调节子，定义 p-adic 调节子。
• 利用负模符号映射及其归一化因子 δ⁻，将 p-adic L 函数的特殊值与算术不变量联系起来。
• 应用 2-降阶方法，通过具有 Qp-有理支集的除子生成的有限指数子群计算 p-adic 调节子。
• 利用 Magma 计算有理点并验证扭曲阿贝尔簇上的秩界。
• 通过比较 p-adic L 值、p-adic 调节子与 p-adic 乘子与预测的算术不变量，数值验证猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于模阿贝尔簇的 p-adic BSD 猜想，是否在秩 0 情形与经典 BSD 猜想一致，在维度 1 情形与 Mazur-Tate-Teitelbaum 猜想一致？
• RQ2 如何构造并归一化高维模阿贝尔簇的 p-adic L 函数，使其满足正确的插值性质？
• RQ3 在维度大于 1 的阿贝尔簇推广猜想中，p-adic 调节子与 p-adic 乘子 εp 的作用是什么？
• RQ4 能否在更高解析秩的情形（如秩 4）中获得推广猜想的数值证据？
• RQ5 在高维模阿贝尔簇的 p-adic 设置下，Tamagawa 数、挠子群与 Shafarevich-Tate 群阶的行为如何？

主要发现

• 推广后的 p-adic BSD 猜想在秩 0 情形与经典 BSD 猜想一致，对 J0(31) 的一个平凡 Sh 与平凡挠子群的扭曲进行数值验证，预测的 Sh 阶为 1。
• 对 Q 上导子 D = -47 的 J0(31) 秩 4 扭曲，2-降阶确认 Mordell-Weil 秩恰好为 4，且 p-adic 调节子以高 p-adic 精度计算得出。
• 对 p ∈ {29, 61, 79}，p-adic L 值分别为 202402009906 + O(29⁸)、4326648666405 + O(61⁸) 与 1513185184992411 + O(79⁸)，与预测的算术不变量一致。
• p-adic 调节子值分别为 351486231941615978 + O(29¹²)、1650697608489237057465 + O(61¹²) 与 8155329946924028539010 + O(79¹²)，证实与猜想一致。
• 通过秩 0 扭曲下 L 值与周期的比较，确定归一化因子 δ⁻ = -1/4，从而实现 p-adic L 函数的一致构造。
• 数值证据在给定的 p-adic 精度范围内支持猜想，p-adic 调节子与 L 值的乘积与 |Sh|、Tamagawa 数与挠子群阶的预测算术因子一致，假设 |Sh| = 1。