[论文解读] A pairing between graphs and trees

Dev Sinha|ArXiv.org|Feb 25, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用 23

一句话总结

本文引入了树与图之间的一种典范配对，该配对在雅可比恒等式与阿诺德恒等式商模上诱导出完美的对偶性，为李与泊松操作符族提供了典范对偶。该配对使得余自由李余代数的显式模型成为可能，并揭示了泊松操作符族的余操作符族比操作符族本身更易处理，其在代数拓扑与同调代数中有应用。

ABSTRACT

We develop a canonical pairing between trees and graphs, which passes to their quotients by Jacobi identities. This pairing is an effective and simple tool for understanding the Lie and Poisson operads, providing canonical duals. In the course of showing that this pairing is perfect we reprove some standard facts about the modules Lie(n), establishing standard bases as well as giving a new means to reduce to those bases. We then move on to define duals to free Lie algebras and to develop product, coproduct and operad structures. We give a brief account here to be built on in a number of different directions in future work.

研究动机与目标

• 建立树与图之间尊重代数恒等式的典范、完美配对。
• 通过雅可比与阿诺德恒等式商模，为李与泊松操作符族提供典范对偶。
• 在不依赖张量代数嵌入的前提下，构建余自由李余代数的显式模型。
• 证明泊松操作符族的余操作符族比泊松操作符族本身更易处理。
• 通过欧几里得空间中拓扑配置空间统一并推广自由李代数与操作符理论中的现有构造。

提出的方法

• 通过树中边路径的最低点及最低点处的方向约定，定义配置配对 ⟨G, T⟩。
• 将配对线性扩展至树与图的自由模 Θₙ 和 Γₙ。
• 证明配对在雅可比组合与对称组合上消失，表明其在雅可比与阿诺德恒等式商模上良定义。
• 在商模上通过完美配对建立李操作符族与其对偶之间的对偶性。
• 通过树的态射及与配对的相容性，定义图与森林模上的操作符与余操作符结构。
• 使用括号表达式与树的融合，将配对解释为嵌套括号与最内层括号对的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种尊重雅可比与阿诺德等基本代数恒等式的树与图之间的典范配对？
• RQ2 该配对是否在自由模关于雅可比与阿诺德恒等式的商模上诱导出完美对偶？
• RQ3 该配对能否用于定义不依赖张量代数嵌入的余自由李余代数的典范模型？
• RQ4 泊松操作符族的余操作符族是否比泊松操作符族本身更易处理？
• RQ5 该配对如何与森林与图上的操作符及余操作符结构相互作用？

主要发现

• 配对 ⟨G, T⟩ 在 Θₙ 与 Γₙ 关于雅可比与阿诺德恒等式的商模上是完美的，确立了李与泊松操作符族之间的典范对偶。
• 配对在所有雅可比组合与对称组合上消失，证实其在商模上良定义。
• 操作符结构映射 fₜₐᵤ 及其对偶 gₜₐᵤ 满足 ⟨D, fₜₐᵤ(⊗Bᵥᵢ)⟩ = ⟨gₜₐᵤ(D), ⊗Bᵥᵢ⟩ₜₑₙₛₒᵣ，保持配对在复合下的不变性。
• 泊松操作符族的余操作符族比泊松操作符族本身更易处理，因其避免了基约化中对莱布尼茨法则的需求。
• 配对通过无需嵌入张量代数的泛函，为余自由李余代数提供了典范模型。
• 配置配对自然源于欧几里得空间中配置空间的同调与上同调，将代数与拓扑联系起来。