[论文解读] Deformations of algebras over operads and Deligne's conjecture

Maxim Kontsevich, Yan Soibelman|ArXiv.org|Jan 26, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 93

一句话总结

本文通过小圆盘操作族的典范自由解析和 Fulton-MacPherson 型配置空间紧化，建立了格罗滕迪克-泰希缪勒群在 $A_\infty$ 代数的 Hochschild 上链复形的形变理论上的同伦作用，证明了德利涅猜想，构造了一个作用于 Hochschild 复形的操作族 $M$。

ABSTRACT

In present paper we develop the deformation theory of operads and algebras over operads. Free resolutions (constructed via Boardman-Vogt approach) are used in order to describe formal moduli spaces of deformations. We apply the general theory to the proof of Deligne's conjecture. The latter says that the Hochschild complex of an associative algebra carries a canonical structure of a dg-algebra over the chain operad of the little discs operad. In the course of the proof we construct an operad of geometric nature which acts on the Hochschild complex. It seems to be different from the brace operad (the latter was used in the previous approaches to the Deligne's conjecture). It follows from our results that the Grothendieck-Teichmüller group acts (homotopically) on the moduli space of structures of 2-algebras on the Hochschild complex. In the Appendix we develop a theory of piecewise algebraic chains and forms. It is suitable for real semialgebraic manifolds with corners (like Fulton-Macpherson compactifications of the configuration spaces of points).

研究动机与目标

• 通过形式点状 dg-流形来发展操作族上代数的形变理论。
• 解释格罗滕迪克-泰希缪勒群为何出现在结合代数和 $A_\infty$ 代数的形变理论中。
• 通过紧化配置空间构造小圆盘操作族在 Hochschild 复形上的作用，从而证明德利涅猜想。
• 通过 GT 作用在量化代数的模空间上，建立 motivic Galois 群、周期与量化代数模空间之间的联系。
• 为具有角的实半代数流形引入分段代数链理论，适用于配置空间的紧化。

提出的方法

• 构造一个形式点状 dg-流形以控制操作族上代数的形变函子。
• 使用操作族的自由解析（受 Boardman-Vogt 启发）而非代数的自由解析来建模形变理论。
• 定义一个操作族 $M$ 作用于 Hochschild 复形 $C^\bullet(A,A)$，并证明其通过 Fulton-MacPherson 型配置空间紧化与小圆盘操作族同伦等价。
• 将实半代数流形上具有角的分段代数链理论应用于处理证明中的积分与形式性。
• 在 Hochschild 复形上 $E_2$-结构的模空间上建立格罗滕迪克-泰希缪勒群的同伦作用。
• 利用多项式函子和对称群作用的框架，在特征零下形式化操作族理论构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用形式点状 dg-流形来表述操作族上代数的形变理论？
• RQ2 为何格罗滕迪克-泰希缪勒群在 $A_\infty$ 代数的 Hochschild 上链复形上存在同伦作用？
• RQ3 Hochschild 复形上实现德利涅猜想的精确操作族结构是什么？
• RQ4 形变量化公式中的系数如何与周期和 motivic Galois 群相关联？
• RQ5 德利涅猜想的证明能否推广到小圆盘操作族的高维类比？

主要发现

• $A_\infty$ 代数的 Hochschild 复形 $C^\bullet(A,A)$ 自然地作用有小圆盘操作族，证实了德利涅猜想。
• 格罗滕迪克-泰希缪勒群通过与小圆盘操作族同伦等价的操作族 $M$，在 $C^\bullet(A,A)$ 上的 $E_2$-代数结构模空间上存在同伦作用。
• 操作族 $M$ 是通过平面中点的配置空间的 Fulton-MacPherson 紧化构造的。
• 分段代数链理论为具有角的实半代数流形上的积分与形式性证明提供了合适的框架。
• Konsevich 形变量化公式中的系数是 $\mathbb{Q}$ 上代数簇的周期，与混合 Tate 动机相关。
• 格罗滕迪克-泰希缪勒群在 Hochschild 复形上的作用与 Kontsevich (2000, [Ko3]) 描述的 motivic Galois 群作用相容。