[论文解读] A Pasting Lemma I: the case of vector fields

Alexander Arbietoand, Carlos Matheus|ArXiv.org|Oct 14, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文建立了紧流形上 $C^1$ 体积保测向量场的 $C^1$-拼接引理，使得在保持体积和全局 $C^1$-接近性的前提下实现局部扰动。主要贡献在于证明了 $C^\infty$ 体积保测向量场在 $C^1$ 体积保测类中是 $C^1$-稠密的，且在 3-流形上，鲁棒遍历的保测流必为 Anosov 型，从而排除了几何 Lorenz 型集合的存在。

ABSTRACT

We prove a perturbation (pasting) lemma for conservative (and symplectic) systems. This allows us to prove that $C^{\infty}$ volume preserving vector fields are $C^1$-dense in $C^{1}$ volume preserving vector fields (After the conclusion of this work, Ali Tahzibi pointed out to us that this result was proved in 1979 by Carlos Zuppa, although his proof is different from ours.). Moreover, we obtain that $C^1$ robustly transitive conservative flows in three-dimensional manifolds are Anosov and we conclude that there are no geometrical Lorenz-like sets for conservative flows. Also, by-product of the version of our pasting lemma for conservative diffeomorphisms, we show that $C^1$-robustly transitive conservative $C^2$-diffeomorphisms admits a dominated splitting, thus solving a question posed by Bonatti-Diaz-Pujals. In particular, stably ergodic diffeomorphisms admits a dominated splitting.

研究动机与目标

• 为相空间紧子集上的 $C^2$ 保测动力系统开发一种稳健的扰动（拼接）引理。
• 建立 $C^\infty$ 体积保测向量场在 $C^1$ 体积保测类中的 $C^1$-稠密性。
• 证明在 3-流形上，鲁棒遍历的保测流必为 Anosov 型，从而排除了几何 Lorenz 型吸引子的存在。
• 证明 $C^1$-鲁棒遍历的 $C^2$ 保测微分同胚必具有主导分解，解决了 Bonatti-Diaz-Pujals 提出的问题。
• 将拼接引理推广至保测微分同胚，并推导其在稳定遍历系统中的应用。

提出的方法

• 利用 Dacorogna-Moser 定理研究具有 $C^{k+\alpha}$ 正则性的微分同胚的散度方程与雅可比行列式方程的可解性。
• 通过使用 $C^\infty$ 分划单位，将 $C^{1+\alpha}$ 向量场 $Y$ 与 $C^1$ 向量场 $X$ 在紧集 $K$ 上拼接，构造出一个 $C^1$-接近、全局定义且体积保测的向量场。
• 采用覆盖流形的开集族的分划单位，该族由 $K$ 的邻域 $V$ 和稍小邻域的补集构成，以确保平滑过渡。
• 应用拼接引理在局部扰动流的同时保持体积和 $C^1$-接近性，利用散度为零的向量场可通过散度方程的解进行修改的性质。
• 利用拼接构造证明：在三维保测流中，鲁棒遍历性蕴含 Anosov 结构，通过反证法结合同宿轨道论证。
• 将拼接引理应用于证明：$C^1$-鲁棒遍历的 $C^2$ 保测微分同胚必具有主导分解，利用剩余集性质与同宿类的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否用 $C^1$ 体积保测向量场 $C^1$-逼近 $C^\infty$ 体积保测向量场？
• RQ2 在 3-流形上，鲁棒遍历的保测流是否必为 Anosov 型？
• RQ3 在 3-流形的保测流中是否存在几何 Lorenz 型集合？
• RQ4 $C^1$-鲁棒遍历的保测 $C^2$-微分同胚是否必具有主导分解？
• RQ5 能否为保测系统构造一个保持体积和 $C^1$-接近性的拼接引理？

主要发现

• 向量场的 $C^1$-拼接引理表明，任意 $C^1$ 体积保测向量场均可被 $C^\infty$ 体积保测向量场 $C^1$-逼近。
• 在 3-流形上，鲁棒遍历的保测流必为 Anosov 型，意味着不存在奇异双曲或 Lorenz 型动力行为。
• 在 3-流形的保测流中，几何 Lorenz 型集合不存在，因为此类集合需依赖平衡点，而鲁棒遍历的保测系统中已排除平衡点。
• 任意 $C^1$-鲁棒遍历的 $C^2$ 保测微分同胚必具有主导分解，证实了 Bonatti-Diaz-Pujals 的一个猜想。
• 稳定遍历微分同胚具有主导分解，这是将拼接引理应用于保测微分同胚情形的直接推论。
• 拼接引理构造保持了体积和 $C^1$-接近性，并确保若扰动为 $C^\infty$，则结果向量场也为 $C^\infty$。