[论文解读] A period map for global derived stacks

Carmelo Di Natale|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文通过将格里夫斯的经典周期图推广到导出代数几何的设定中，构建了一个作为导出栈之间态射的全局导出周期图。它将此前通过形变函子描述的局部周期图提升为一个非几何的导出栈之间态射，为光滑射影代数簇上变体霍奇结构的分类提供了导出框架。

ABSTRACT

We develop the theory of Griffiths period map, which relates the classification of smooth projective varieties to the associated Hodge structures, in the framework of Derived Algebraic Geometry. We complete the description of the local period map as a morphism of derived deformation functors, following the path marked by Fiorenza, Manetti and Martinengo. In the end we show how to lift the local period map to a (non-geometric) morphism of derived stacks, in order to construct a global version of that.

研究动机与目标

• 通过导出代数几何的语言，将经典格里夫斯周期图推广到全局、导出的设定中。
• 在Fiorenza、Manetti和Martinengo工作的基础上，完整描述局部周期图作为导出形变函子之间的态射。
• 通过将局部态射提升为导出栈之间的非几何态射，构建全局周期图。
• 通过导出形变理论，建立一个用于分类光滑射影代数簇上变体霍奇结构的导出框架。
• 在dg-范畴和Lσ-代数的背景下，统一霍奇理论构造与形变理论方法。

提出的方法

• 使用Hinich和Manetti意义上的导出形变函子理论，对k-概形和滤化复形的形变进行建模。
• 应用Dold-Kan对应关系，将非负度数的dg-范畴与单纯群胚联系起来，从而实现dg-群胚值形变函子的构造。
• 通过包含映射 $\mathrm{End}^{F^p}(H^*) \hookrightarrow \mathrm{End}^*(H^*)$ 的锥构造，将周期图定义为Lσ-代数之间的态射，以编码霍奇滤子。
• 通过在dg-范畴设定下的Yoneda引理，将形变函子实现为表示导出栈，从而将局部周期图提升为导出栈之间的态射。
• 利用dg-仿射概形和dg-群胚的形式系统，定义一个作为导出栈之间态射的非几何全局周期图。
• 利用霍奇滤子的dg-增强及其相关旗函子，定义周期图的目标栈。

实验结果

研究问题

• RQ1 在导出代数几何的背景下，经典局部周期图如何被提升为全局态射？
• RQ2 参数化上同调上霍奇滤子的形变函子的导出增强是什么？
• RQ3 Fiorenza-Manetti周期图作为形变函子之间的态射，如何扩展为导出栈之间的态射？
• RQ4 Lσ-态射和锥构造在导出形变理论中编码霍奇滤子时起什么作用？
• RQ5 能否作为导出栈之间的态射构造一个非几何的全局周期图，其在分类霍奇结构中的意义是什么？

主要发现

• 局部周期图被完全实现为导出形变函子之间的态射，将Fiorenza和Manetti的工作扩展到了导出设定。
• 周期图源于Kodaira-Spencer dgla $KS_X$ 与编码霍奇滤子的锥 $C_\chi$ 之间的自然Lσ-态射。
• 全局周期图被构造为导出栈之间的非几何态射，通过在σ-代数的导出范畴中的Yoneda嵌入，从局部映射提升而来。
• 全局周期图的目标是参数化 $H^*(X)$ 的滤化形变的导出栈，通过σ-代数实现为导出旗流形。
• 该构造表明周期图与 $X$ 的导出形变理论相容，为格里夫斯的全纯性与微分计算提供了导出解释。
• 导出周期图通过霍奇滤子的导出增强，完整捕捉了霍奇结构的形变理论数据，包括障碍项。